高中数学人教A版（2019）选修二第四章数列

试卷更新日期：2021-08-23 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2021}$ 是 $a_{2019}$ ， $a_{2020}$ 两项的等差中项，则 $q =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-1

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2. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $2 S_{3} = a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ，则公比 $q =$ （）．

A、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ C、1 D、2

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3. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下： $| \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}$ ，已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $| \begin{array}{l} 1 & (10 - a_{7}) \\ 1 & a_{9} \end{array} | = 0$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、 $\frac{15}{2}$ B、45 C、75 D、150

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4. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 1$ ， $a_{3} = 3$ ， $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），则 $a_{10} =$ （）

A、10 B、17 C、21 D、35

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{3} = 10$ ， ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 的前8项和 $S_{8} =$ （）

A、376 B、382 C、749 D、766

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6. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ ，则称数列 ${x_{n}}$ 为牛顿数列．如果函数 $f (x) = x^{2} - x - 2$ ，数列 ${x_{n}}$ 为牛顿数列，设 $a_{n} = \ln \frac{x_{n} - 2}{x_{n} + 1}$ 且 $a_{1} = 1$ ， $x_{n} > 2$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2021} =$ （）．

A、 $2^{2021} - 1$ B、 $2^{2021} - 2$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{2021} - \frac{1}{2}$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{2021} - 2$

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7. 已知圆O的半径为5， $| O P | = 3$ ，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列 ${a_{n}}$ ，最短弦长为 $a_{1}$ ，最长弦长为 $a_{2021}$ ，则其公差为（）

A、 $\frac{1}{2020}$ B、 $\frac{1}{1010}$ C、 $\frac{3}{1010}$ D、 $\frac{1}{505}$

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8. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} > 0$ ， $a_{2020} + a_{2021} > 0$ ， $a_{2020} \cdot a_{2021} < 0$ ，则满足 $S_{n} > 0$ 成立的最大正整数 $n$ 是（）

A、4039 B、4040 C、4041 D、4042

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二、多选题

9. 已知递减的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{7} = S_{11}$ ，则（）

A、 $a_{10} > 0$ B、当n=9时， $S_{n}$ 最大 C、 $S_{17} > 0$ D、 $S_{19} > 0$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} \cdot a_{n + 1} = 2^{n}$ ， $n \in N_{+}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{4} = 4$ B、 ${a_{2 n}}$ 是等比数列 C、 $a_{2 n} - a_{2 n - 1} = 2^{n - 1}$ D、 $a_{2 n - 1} + a_{2 n} = 2^{n + 1}$

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11. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + 2 a_{n - 2} (n \geq 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{n + 1} + a_{n}}$ 为等比数列 B、数列 ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = \frac{2^{n + 1} + {(- 1)}^{n}}{3}$ D、 $S_{20} = \frac{2}{3} (4^{10} - 1)$

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12. 如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（）

A、第6行第1个数为192 B、第10行的数从左到右构成公差为 $2^{10}$ 的等差数列 C、第10行前10个数的和为 $95 \times 2^{9}$ D、数表中第2021行第2021个数为 $6061 \times 2^{2020}$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1021$ ，其 $n$ 前项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = - S_{n - 1} - n^{2}$ ，则 $a_{2021} =$ .

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 (n + 2)}{3 n - 1}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}}$ =

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15. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{n} = \frac{S_{n}}{2} - 1$ ，则 $S_{7} =$ .

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16. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a_n}，则{a_n}的前n项和为．

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四、解答题

17. 已知首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 ▲ ，是否存在互不相等的正整数 $k ， r ， t$ ，使得 $S_{k}$ ， $S_{r}$ ， $S_{t}$ ，成等差数列？若存在，求 $S_{n}$ ；若不存在，请说明理由.
从（1） $a_{4} = 8 a_{1}$ （2） $S_{2 n + 1} = a_{2 n + 1}$ 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{2} = 4$ ， $S_{5} = 30$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{2}{a_{n}^{2} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知正项等比数列

{a_{n}}

，其中

a_{1}

，

a_{2}

，

a_{3}

分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令

b_{n} = 2 \log_{2} a_{n}

．

	第一列	第二列	第三列
第一行	5	3	2
第二行	4	10	9
第三行	18	8	11

(1)、求数列

{a_{n}}

和

{b_{n}}

的通项公式；

(2)、设数列

{\frac{1}{b_{n}^{2} - 1}}

的前

n

项和为

T_{n}

，证明：

T_{n} < \frac{1}{2}

．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = a_{2} = 2$ ，当 $n \geq 2$ 时， $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 S_{n} + 1$ .

(1)、求证：当 $n \geq 2$ ， $a_{n + 1} - a_{n}$ 为定值；

(2)、把数列 ${a_{n}}$ 和数列 ${2^{a_{n}}}$ 中的所有项从小到大排列，组成新数列 ${c_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前100项和 $T_{100}$ .

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21. 在① $a_{3} + a_{5} = 14$ ；② $S_{4} = 28$ ；③ $a_{8}$ 是 $a_{5}$ 与 $a_{13}$ 的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知 ${a_{n}}$ 为公差不为零的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}, {b_{n}}$ 为等比数列，其前 $n$ 项和 $T_{n} = 2^{n} + λ, λ$ 为常数， $a_{1} = b_{1}$ ，

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = [\lg a_{n}] ，$ 其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{100}$ 的值.

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22. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，满足 $4 S_{n} = a_{n + 1}^{2} - 4 n - 4$ ，且 $a_{1} = b_{1} + 1 = 2$ ， $a_{4} = b_{4}$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、若从数列 ${a_{n}}$ 中去掉数列 ${b_{n}}$ 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 ${c_{n}}$ ，求 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \cdot \cdot \cdot + c_{100}$ ．

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高中数学人教A版（2019） 选修二 第四章 数列

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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