高中数学人教A版（2019）选修二第五章一元函数的导数及其应用

试卷更新日期：2021-08-23 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 关于函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ 的性质，以下说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期是 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有极值 C、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内有最小值

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2. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + a^{2} + 1$ 为偶函数，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x - y = 0$ B、 $2 x - y + 1 = 0$ C、 $2 x - y + 2 = 0$ D、 $2 x - y - 1 = 0$

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3. 若关于 $x$ 的方程 $l n x - a x = x^{2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个不等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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4. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + a \ln x$ 有两个不同的极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4} < a < 0$ C、 $a < \frac{1}{4}$ D、 $0 < a < \frac{1}{4}$

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5. 函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ 的极大值点为（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、0 D、2

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6. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 的图象连续不断，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，对任意正实数 $x$ 恒有 $x f^{'} (x) > 2 f (- x)$ ，若 $g (x) = x^{2} f (x)$ ，则不等式 $g ({log}_{3} (x^{2} - 1)) + g (- 1) < 0$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 2)$ C、 $(- \sqrt{3} ， 2)$ D、 $(- 2 ， - 1) \cup (1 ， 2)$

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7. 若函数 $f (x) = x^{3} + (2 - a) x^{2} + \frac{a}{3} x + 1$ 在其定义域上不单调，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < 1$ 或 $a > 4$ B、 $a \geq 4$ C、 $1 < a < 4$ D、 $1 \leq a \leq 4$

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8. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 \ln x$ 在区间 $(2 m ， m + 1)$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $(0 ， 2)$

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二、多选题

9. 已知 $e$ 是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（）．

A、 $\ln 2 > \frac{2}{e}$ B、 $\ln 3 < \frac{3}{e}$ C、 $\ln π > \frac{π}{e}$ D、 $\frac{\ln 3}{\ln π} < \frac{3}{π}$

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10. 设函数 $f (x) = x \cdot \ln x$ ，则关于 $x$ 的方程 $| f (x) | - m = 0$ 的实数根的个数可能为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11. 已知函数 $f (x) = e^{\sin x} - e^{\cos x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是减函数 C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上有且仅有一个极值点

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12. 记函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域的交集为 $I$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得对任意 $x \in I$ ，不等式 $[f (x) - g (x)]$ $(x - x_{0}) \geq 0$ 恒成立，则称 $(f (x) ， g (x))$ 构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有（）

A、 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x + 1$ B、 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x$ ， $g (x) = x^{2}$ D、 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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三、填空题

13. 曲线 $y = e^{x} + x^{2} - \frac{2}{3} x$ 在 $x = 0$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{2}) =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = x (\sin x + 1) + a \cos x$ ，当 $a > 2$ 时，函数 $g (x) = f (x) - 3$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有唯一零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a - e \ln (e x + a)$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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16. 从抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线 $l$ 上一点 $P$ 引抛物线的两条切线 $P A$ 、 $P B$ ，且 $A$ 、 $B$ 为切点，若直线 $A B$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $P$ 点的横坐标为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x} (x > 0)$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调性；

(2)、证明函数 $f (x)$ 在 $(π ， 2 π)$ 内存在唯一的极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) < - \frac{2}{3 π}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - b x - 1$ ，其中 $a ， b \in R$ ， $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数.
（Ⅰ）设 $g (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最小值；

（Ⅱ）若 $f (1) = 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内有零点，求 $a$ 的取值范围

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19. 已知函数 $f (x) = x - ln x + \frac{2}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若存在区间 $[a ， b] \subseteq [\frac{1}{2} ， + \infty)$ ，使 $g (x) = x f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的值域为 $[k (a + 2) ， k (b + 2)]$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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20. 设函数 $f (x) = x \ln x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e^{- 2} ， f (e^{- 2}))$ 处的切线方程；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有两个实根，设为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），证明： $x_{2} - x_{1} < 1 + 2 a + e^{- 2}$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \sin x$ .（ $e = 2.71828$ ……为自然对数的底数）

(1)、设函数 $h (x) = f (x) - (x - 1) \cdot g (x)$ ，当 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ 时，求函数 $h (x)$ 零点的个数；

(2)、求证： $g (x) \cdot g^{'} (x) + 1 < x \cdot f (x) - \ln x$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{6} x^{3} + a x \ln x - (a + \frac{1}{2}) x$ ．

(1)、若 $a \geq 0$ 讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a \geq - 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的极值点个数．

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高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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