湖南省长沙市名校2022届高三上学期数学8月入学考试试卷

试卷更新日期：2021-08-20 类型：开学考试

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一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $M = {x | \lg (x - 1) \leq 0}$ ， $N = {x | | x | < 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 2]$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = (2 + i) i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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3. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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4. 把函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = \sin (x - \frac{π}{4})$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $\sin (\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12})$ B、 $\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})$ C、 $\sin (2 x - \frac{7 π}{12})$ D、 $\sin (2 x + \frac{π}{12})$

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5. 已知F₁ ， F₂是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F₁PF₂=60°，|PF₁|=3|PF₂|，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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6. 若 $\cos (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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7. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三3学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）

A、60种 B、78种 C、84种 D、144种

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8. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ，且 $a_{n + 1} = (1 + \frac{1}{n}) a_{n} + \frac{2}{n} (n \in N^{*})$ ，则 $f (a_{22}) =$ （）

A、0 B、-1 C、21 D、22

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $| \vec{b} - 2 \vec{a} | = \sqrt{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2}$ D、 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = 60 °$

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10. 下列命题为真命题的是（）

A、对具有线性相关关系的变量 $x$ ， $y$ ，有一组观测数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 10)$ ，其线性回归方程是 $\hat{y} = - 2 \hat{b} x + 1$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{10} = 3 (y_{1} + y_{2} + y_{3} + \dots + y_{10}) = 9$ ，则实数 $\hat{b}$ 的值是 $\frac{11}{18}$ B、从数字1，2，3，4，5，6，7，8中任取2个数，则这2个数的和为奇数的概率为 $\frac{4}{7}$ C、已知样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的方差为4，则数据 $2 x_{1} + 30 ， 2 x_{2} + 30 ， \dots ， 2 x_{n} + 30$ 的标准差是4 D、已知随机变量 $X ~ N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (X < - 1) = 0.3$ ，则 $P (X < 2) = 0.7$

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11. 以下四个命题表述正确的是（）

A、直线 $(3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(- 3 ， - 3)$ B、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上有且仅有3个点到直线 $l ： x - y + \sqrt{2} = 0$ 的距离都等于1 C、曲线 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + m = 0$ 恰有三条公切线，则 $m = 4$ D、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $P$ 为直线 $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ 上一动点，过点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A ， P B$ ， $A ， B$ 为切点，则直线 $A B$ 经过定点 $(1 ， 2)$

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12. 在正方体 $A C_{1}$ 中， $E$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点， $F$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，且 $A_{1} F$ 与平面 $D_{1} A E$ 的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（）

A、点 $F$ 的轨迹是一条线段 B、 $A_{1} F$ 与 $B E$ 是异面直线 C、 $A_{1} F$ 与 $D_{1} E$ 不可能平行 D、三棱锥 $F - A B D_{1}$ 的体积为定值

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2} ， x \leq 1 \\ \log_{\frac{1}{2}} x ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x_{0}) = - 2$ ，则 $x_{0} =$ .

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14. 若点 $P$ 是曲线 $y = x^{2} - \ln x$ 上任意一点，则点 $P$ 到直线 $y = x - 2$ 的最小值为.

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15. 已知F是抛物线C：y²=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= ．

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16. 某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 $k$ 棵树种植在点 $P_{k} (x_{k} ， y_{k})$ 处，其中 $x_{1} = 1$ ， $y_{1} = 1$ ，当 $k \geq 2$ 时， ${\begin{array}{l} x_{k} = x_{k - 1} + 1 - 5 [T (\frac{k - 1}{5}) - T (\frac{k - 2}{5})] ， \\ y_{k} = y_{k - 1} + T (\frac{k - 1}{5}) - T (\frac{k - 2}{5}) . \end{array}$
$T (a)$ 表示非负实数 $a$ 的整数部分，例如 $T (2.6) = 2$ ， $T (0.2) = 0$ .按此方案，

（ⅰ）第6棵树种植点的坐标应为；

（ⅱ）第2008棵树种植点的坐标应为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = {\begin{cases} \frac{n}{2} a_{\frac{n + 1}{2}} + \frac{1}{2} ， n 为正奇数， \\ 2 a_{\frac{n}{2}} + \frac{n}{2} ， n 为正偶数 . \end{cases}$

(1)、问数列 ${a_{n}}$ 是否为等差数列或等比数列？说明理由.

(2)、求证：数列 ${\frac{a_{2^{n}}}{2^{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{2^{n}}}$ 的通项公式.

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18. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a + c = 2 b \cos A$ .

(1)、证明： $B = 2 A$ ；

(2)、设 $D$ 为 $B C$ 边上的中点，点 $E$ 在 $A B$ 边上，满足 $\vec{D E} \cdot \vec{C B} = \vec{D E} \cdot \vec{C A}$ ，且 $b = \sqrt{3} a$ ，四边形 $A C D E$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{8}$ ，求线段 $C E$ 的长.

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19. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为菱形， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = \frac{1}{2} A B = 1$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、若点 $M$ 是 $A D$ 的中点，求证： $C_{1} M ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、棱 $B C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得二面角 $E - A D_{1} - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ？若存在，求线段 $C E$ 的长；若不存在，请说明理由.

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20. 某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响.现计划购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：

品牌

价格/（元/件）

使用寿命/月

甲

1000

7或8

乙

400

3或4

已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；

(2)、现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌（甲、乙两品牌轴承搭配使用）.试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的焦距相等，且 $C$ 经过抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + \sqrt{2}$ 的顶点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $A ， B$ 关于直线 $l ： x + t y + 1 = 0$ 对称， $O$ 为 $C$ 的对称中心，且 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ ，求 $k$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x - \frac{1}{2} x^{3} + a$ ， $g (x) = x e^{1 - x} + \frac{2 a - 1}{2} x^{3} - x$ （ $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{e} ， 1)$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $x \geq 1$ 时，不等式 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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品牌	价格/（元/件）	使用寿命/月
甲	1000	7或8
乙	400	3或4