江西省2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-08-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -2的相反数是（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 如图，几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 计算 $\frac{a + 1}{a} - \frac{1}{a}$ 的结果为（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{a + 2}{a}$ D、 $\frac{a - 2}{a}$

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4. 如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是（）

A、一线城市购买新能源汽车的用户最多 B、二线城市购买新能源汽车用户达37% C、三四线城市购买新能源汽车用户达到11万 D、四线城市以下购买新能源汽车用户最少

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5. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2}$ 与一次函数 $y = b x + c$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

7. 国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日发布，江西人口数约为45100000人，将45100000用科学记数法表示为．

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8. 因式分解： $x^{2} - 4 y^{2} =$ ．

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9. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} =$ ．

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10. 下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是．

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11. 如图，将 $▱ A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折，点 $B$ 落在点 $E$ 处， $C E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $∠ B = 80 °$ ， $∠ A C E = 2 ∠ E C D$ ， $F C = a$ ， $F D = b$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为．

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12. 如图，在边长为 $6 \sqrt{3}$ 的正六边形 $A B C D E F$ 中，连接 $B E$ ， $C F$ ，其中点 $M$ ， $N$ 分别为 $B E$ 和 $C F$ 上的动点，若以 $M$ ， $N$ ， $D$ 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为．

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三、解答题

13.

(1)、计算： ${(- 1)}^{2} - {(π - 2021)}^{0} + | - \frac{1}{2} |$ ；

(2)、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $∠ A B C = 80 °$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ， $E D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，求证： $A D = B D$ ．

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14. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 3 \leq 1 \\ \frac{x + 1}{3} > - 1 \end{array}$ ，并将解集在数轴上表示出来．

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15. 为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A ， B ， C ， D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字，

(1)、“A志愿者被选中”是事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；

(2)、请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A ， B两名志愿者被选中的概率．

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16. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为4个单位长度，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．

(1)、在图1中，将直线 $A C$ 绕着正方形 $A B C D$ 的中心顺时针旋转 $45 °$ ；

(2)、在图2中，将直线 $A C$ 向上平移1个单位长度．

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17. 如图，正比例函数 $y = x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象交于点 $A (1 ， a)$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，点 $C$ 坐标为 $(- 2 ， 0)$ ．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、求 $A B$ 所在直线的解析式．

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18. 甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．

(1)、求这种商品的单价；

(2)、甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是元/件．

(3)、生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同加油更合算（填“金额”或“油量”）．

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19. 为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分、某外贸公司要出口一批规格为

75 g

的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：

g

）如下：

甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；

甲厂鸡腿质量频数统计表

质量 $x$ （ $g$ ）	频数	频率
$68 \leq x < 71$	2	0.1
$71 \leq x < 74$	3	0.15
$74 \leq x < 77$	10	$a$
$77 \leq x < 80$	5	0.25
合计	20	1

乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77；

乙厂鸡腿质量频数分布直方图

分析上述数据，得到下表：

统计量

厂家

平均数

中位数

众数

方差

甲厂

$b$

6.3

乙厂

6.6

请你根据图表中的信息完成下列问题：

(1)、

a =

，

b =

；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；

(4)、某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：

g

）在

71 \leq x < 77

的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？

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20. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄 $B C$ 与手臂 $M C$ 始终在同一直线上，枪身 $B A$ 与额头保持垂直量得胳膊 $M N = 28 cm$ ， $M B = 42 cm$ ，肘关节 $M$ 与枪身端点 $A$ 之间的水平宽度为 $25.3 cm$ （即 $M P$ 的长度），枪身 $B A = 8.5 cm$ ．

图1

（参考数据： $\sin 66.4 ° \approx 0.92$ ， $\cos 66.4 ° = 0.40$ ， $\sin 23.6 ° \approx 0.40$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

(1)、求 $∠ A B C$ 的度数；

(2)、测温时规定枪身端点 $A$ 与额头距离范围为 $3 ~ 5 cm$ ．在图2中，若测得 $∠ B M N = 68.6 °$ ，小红与测温员之间距离为 $50 cm$ 问此时枪身端点 $A$ 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）

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21. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A D$ 为直径，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $A C$ ．

(1)、求证： $∠ C A D = ∠ E C B$ ；

(2)、若 $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线， $∠ C A D = 30 °$ ，连接 $O C$ ，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；

②当AB=2时，求AD ， AC与 $\hat{C D}$ 围成阴影部分的面积．

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22. 二次函数

y = x^{2} - 2 m x

的图象交

x

轴于原点

O

及点

A

．

感知特例

(1)、当

m = 1

时，如图1，抛物线

L ： y = x^{2} - 2 x

上的点

B

，

O

，

C

，

A

，

D

分别关于点

A

中心对称的点为

B^{'}

，

O^{'}

，

C^{'}

，

A^{'}

，

D^{'}

，如下表：

…	$B (- 1 ， 3)$	$O (0 ， 0)$	$C (1 ， - 1)$	$A$ （ ▲ ， ▲ ）	$D (3 ， 3)$	…
…	$B^{'} (5 ， - 3)$	$O^{'} (4 ， 0)$	$C^{'} (3 ， 1)$	$A^{'} (2 ， 0)$	$D^{'} (1 ， - 3)$	…

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为 $L^{'}$ ．

形成概念

我们发现形如（1）中的图象 $L^{'}$ 上的点和抛物线 $L$ 上的点关于点 $A$ 中心对称，则称 $L^{'}$ 是 $L$ 的“孔像抛物线”．例如，当 $m = - 2$ 时，图2中的抛物线 $L^{'}$ 是抛物线 $L$ 的“孔像抛物线”．

(2)、探究问题

①当 $m = - 1$ 时，若抛物线 $L$ 与它的“孔像抛物线” $L^{'}$ 的函数值都随着 $x$ 的增大而减小，则 $x$ 的取值范围为 ▲ ；

②在同一平面直角坐标系中，当 $m$ 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 $y = x^{2} - 2 m x$ 的所有“孔像抛物线” $L^{'}$ ，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 ▲ ．（填“ $y = a x^{2} + b x + c$ ”或“ $y = a x^{2} + b x$ ”或“ $y = a x^{2} + c$ ”或“ $y = a x^{2}$ ”，其中 $a b c \neq 0$ ）；

③若二次函数 $y = x^{2} - 2 m x$ 及它的“孔像抛物线”与直线 $y = m$ 有且只有三个交点，求 $m$ 的值．

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23. 如图

(1)、课本再现
在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与 $∠ A$ 相等的角是；

(2)、类比迁移
如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 与 $∠ A D C$ 互余，小明发现四边形 $A B C D$ 中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作 $∠ C D F = ∠ A B C$ ，再过点 $C$ 作 $C E ⊥ D F$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ，发现 $A D$ ， $D E$ ， $A E$ 之间的数量关系是；

(3)、方法运用
如图3，在四边形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $O$ 是 $△ A C D$ 两边垂直平分线的交点，连接 $O A$ ， $∠ O A C = ∠ A B C$ ．

①求证： $∠ A B C + ∠ A D C = 90 °$ ；

②连接 $B D$ ，如图4，已知 $A D = m$ ， $D C = n$ ， $\frac{A B}{A C} = 2$ ，求 $B D$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）．

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