广东省广州市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-08-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列四个选项中，为负整数的是（）

A、0 B、-0.5 C、 $- \sqrt{2}$ D、-2

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2. 如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b ，且 $a + b = 0$ ，若 $A B = 6$ ，则点A表示的数为（）

A、-3 B、0 C、3 D、 $- 6$

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3. 方程 $\frac{1}{x - 3} = \frac{2}{x}$ 的解为（）

A、 $x = - 6$ B、 $x = - 2$ C、 $x = 2$ D、 $x = 6$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $| - (- 2) | = - 2$ B、 $3 + \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ C、 ${(a^{2} b^{3})}^{2} = a^{4} b^{6}$ D、（a－2）²＝a²－4

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5. 下列命题中，为真命题的是（）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形（2）对角线互相垂直的四边形是菱形（3）对角线相等的平行四边形是菱形（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形

A、（1）（2） B、（1）（4） C、（2）（4） D、（3）（4）

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6. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若 $∠ A C B = 60 °$ ，则劣弧AB的长是（）

A、 $8 πcm$ B、 $16 πcm$ C、 $32 πcm$ D、 $192 πcm$

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8. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(- 1 ， 0)$ 、 $(3 ， 0)$ ，且与y轴交于点 $(0 ， - 5)$ ，则当 $x = 2$ 时，y的值为（）

A、-5 B、-3 C、-1 D、5

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，使点 $C^{'}$ 落在AB边上，连结 $B B^{'}$ ，则 $\sin ∠ B B^{'} C^{'}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10. 在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象上，点C在函数 $y = - \frac{4}{x} (x < 0)$ 的图象上，若点B的横坐标为 $- \frac{7}{2}$ ，则点A的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \sqrt{2})$ C、 $(2 ， \frac{1}{2})$ D、 $(\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$

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二、填空题

11. 代数式 $\sqrt{x - 6}$ 在实数范围内有意义时，x应满足的条件是．

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12. 方程 $x^{2} - 4 x = 0$ 的解为.

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E ，连结BD ．若 $C D = 1$ ，则AD的长为．

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14. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 上的两个点，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“＜”或“＞”或“＝”）．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ B = 38 °$ ，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为 $B^{'}$ ，当 $B^{'} D / / A C$ 时，则 $∠ B C D$ 的度数为．

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16. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且 $B E = 3$ ，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G ， DF与AE交于点H ．并与 $⊙ A$ 交于点K ，连结HG、CH ．给出下列四个结论．（1）H是FK的中点；（2） $△ H G D ≌ △ H E C$ ；（3） $S_{△ A H G} ： S_{△ D H C} = 9 ∶ 16$ ；（4） $D K = \frac{7}{5}$ ，其中正确的结论有（填写所有符合题意结论的序号）．

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三、解答题

17. 解方程组 ${\begin{array}{l} y = x - 4 \\ x + y = 6 \end{array}$

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18. 如图，点E、F在线段BC上， $A B / / C D$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $B E = C F$ ，证明： $A E = D F$ ．

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19. 已知 $A = (\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{\sqrt{3} m n}{m - n}$

(1)、化简A；

(2)、若 $m + n - 2 \sqrt{3} = 0$ ，求A的值．

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20. 某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：3；5；3；6；3；4；4；5；2；4；5；6；1；3；5；5；4；4；2；4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

次数

1

2

3

4

5

6

人数

1

2

a

6

b

2

(1)、表格中的 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为，中位数为；

(3)、若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．

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21. 民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次

(1)、若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；

(2)、“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

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22. 如图，在四边形ABCD中， $∠ A B C = 90 °$ ，点E是AC的中点，且 $A C = A D$

(1)、尺规作图：作 $∠ C A D$ 的平分线AF ，交CD于点F ，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作的图中，若 $∠ B A D = 45 °$ ，且 $∠ C A D = 2 ∠ B A C$ ，证明： $△ B E F$ 为等边三角形．

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23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 $l ： y = \frac{1}{2} x + 4$ 分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点 $P (x ， y)$ 为直线 $l$ 在第二象限的点

(1)、求A、B两点的坐标；

(2)、设 $△ P A O$ 的面积为S ，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；

(3)、作 $△ P A O$ 的外接圆 $⊙ C$ ，延长PC交 $⊙ C$ 于点Q ，当 $△ P O Q$ 的面积最小时，求 $⊙ C$ 的半径．

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24. 已知抛物线 $y = x^{2} - (m + 1) x + 2 m + 3$

(1)、当 $m = 0$ 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；

(2)、该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；

(3)、已知点 $E (- 1 ， - 1)$ 、 $F (3 ， 7)$ ，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．

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25. 如图，在菱形ABCD中， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2$ ，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F ，使 $A F = A E$ ，且CF、DE相交于点G

(1)、当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；

(2)、当 $C G = 2$ 时，求AE的长；

(3)、当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．

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次数	1	2	3	4	5	6
人数	1	2	a	6	b	2