青海省中考数学真题汇编（近几年）4 图形的性质

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）

A、3.6 B、1.8 C、3 D、6

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2. 将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于 $A$ ， $B$ 两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米， $A B = 16$ 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．

A、1.0厘米/分 B、0.8厘米分 C、12厘米/分 D、1.4厘米/分

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4. 已知 $a$ ， $b$ 是等腰三角形的两边长，且a，b满足 $\sqrt{2 a - 3 b + 5} + {(2 a + 3 b - 13)}^{2} = 0$ ，则此等腰三角形的周长为（）．

A、8 B、6或8 C、7 D、7或8

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5. 等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）

A、55°，55° B、70°，40°或70°，55° C、70°，40° D、55°，55°或70°，40°

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6. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含 $30 °$ 角的三角板的斜边与纸条一边重合，含 $45 °$ 角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则 $∠ 1$ 的度数是（）

A、 $15 °$ B、 $22.5 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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7. 如图，小莉从 $A$ 点出发，沿直线前进10米后左转 $20 °$ ，再沿直线前进10米，又向左转 $20 °$ ， $\dots \dots$ ，照这样走下去，她第一次回到出发点 $A$ 时，一共走的路程是（）

A、150米 B、160米 C、180米 D、200米

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8. 如图，在扇形 $A O B$ 中， $A C$ 为弦， $∠ A O B = 140 °$ ， $∠ C A O = 60 °$ ， $O A = 6$ ，则 $\hat{B C}$ 的长为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $2 π$

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9. 根据图中给出的信息，可得正确的方程是（）

A、 $π \times {(\frac{8}{2})}^{2} x = π \times {(\frac{6}{2})}^{2} \times (x + 5)$ B、 $π \times {(\frac{8}{2})}^{2} x = π \times {(\frac{6}{2})}^{2} \times (x - 5)$ C、 $π \times 8^{2} x = π \times 6^{2} \times (x + 5)$ D、 $π \times 8^{2} x = π \times 6^{2} \times 5$

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二、填空题

10. 如图所示ΔABC中，AB=AC=14cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，ΔDBC的周长是24cm，则BC=cm.

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11. 点 $P$ 是非圆上一点，若点 $P$ 到 $⊙ O$ 上的点的最小距离是 $4 c m$ ，最大距离是 $9 c m$ ，则 $⊙ O$ 的半径是．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 的中点，若 $△ D E F$ 的周长为10，则 $△ A B C$ 的周长为．

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $B D = 8 cm$ ， $A E ⊥ B D$ ，垂足为 $E$ ，且 $A E = 3 cm$ ， $B C = 4 cm$ ，则 $A D$ 与 $B C$ 之间的距离为．

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14. 已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦， $A B / / C D$ ， $A B = 8 cm$ ， $C D = 6 cm$ ，则 $A B$ 与 $C D$ 之间的距离为cm.

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，已知 $∠ B O C = 120 °$ ， $D C = 3 cm$ ，则 $A C$ 的长为cm.

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16. 已知a，b，c为 $△ A B C$ 的三边长.b，c满足 ${(b - 2)}^{2} + | c - 3 | = 0$ ，且a为方程 $| x - 4 | = 2$ 的解，则 $△ A B C$ 的形状为三角形.

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17. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆的半径为.

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18. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据： $A M = 4$ 米， $A B = 8$ 米， $∠ M A D = 45 °$ ， $∠ M B C = 30 °$ ，则 $C D$ 的长为米.（结果保留根号）

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19. 如图在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是以 $A B$ 为直径的半圆与对角线 $A C$ 的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为.

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三、解答题

20. 如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $A D = 2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $A B = C D$ ），将左边的门 $A B B_{1} A_{1}$ 绕门轴 $A A_{1}$ 向里面旋转 $35 °$ ，将右边的门 $C D D_{1} C_{1}$ 绕门轴 $D D_{1}$ 向外面旋转 $45 °$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据 $\sin 35 ° \approx 0.6$ ， $\cos 35 ° \approx 0.8$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）．

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四、作图题

21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ .

(1)、尺规作图：作 $R t △ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ ；作 $∠ A C B$ 的角平分线交 $⊙ O$ 于点D，连接AD.（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若AC =6，BC =8，求AD的长.

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五、综合题

22. 如图， $D B$ 是 $▱ A B C D$ 的对角线．

(1)、尺规作图（请用2B铅笔）：作线段 $B D$ 的垂直平分线 $E F$ ，交 $A B$ ， $D B$ ， $D C$ 分别于 $E$ ， $O$ ， $F$ ，连接 $D E$ ， $B F$ （保留作图痕迹，不写作法）．

(2)、试判断四边形 $D E B F$ 的形状并说明理由．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $M N ⊥ A C$ 于点 $M$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $B G ⊥ M N$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $△ B G D ∽ △ D M A$ ；

(2)、求证：直线 $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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24. 如图，已知AB是 $⊙ O$ 的直径，直线BC与 $⊙ O$ 相切于点B，过点A作AD//OC交 $⊙ O$ 于点D，连接CD.

(1)、求证：CD是 $⊙ O$ 的切线.

(2)、若 $A D = 4$ ，直径 $A B = 12$ ，求线段BC的长.

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25. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是 $A D$ 的中点，过点 $A$ 作 $A F / / B C$ 交 $B E$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $C F$ .

(1)、求证： $Δ A E F ≅ Δ D E B$ ；

(2)、证明四边形 $A D C F$ 是菱形.

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26. 如图，在 $⊙ O$ 中，点 $C$ 、 $D$ 分别是半径 $O B$ 、弦 $A B$ 的中点，过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ 于点 $E$ .

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A E = 2$ ， $\sin ∠ A D E = \frac{2}{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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27. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示，其形式为：设 $a$ ， $b$ ， $c$ 为三角形三边， $S$ 为面积，则 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ①
这是中国古代数学的瑰宝之一.

而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 $p = \frac{a + b + c}{2}$ （周长的一半），则 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ②

(1)、尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；

(2)、问题探究.经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从① $\Rightarrow$ ②或者② $\Rightarrow$ ① $）$ ；

(3)、问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式：如图， $Δ A B C$ 的内切圆半径为 $r$ ，三角形三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，仍记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， $S$ 为三角形面积，则 $S = p r$ .

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28. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $C G ⊥ B A$ 交BA的延长线于点G.
特例感知：

(1)、将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度，得到 $B F = C G$ .请给予证明.

(2)、当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作 $D E ⊥ B A$ 垂足为E.此时请你通过观察、测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想.

(3)、当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

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