山西省中考数学真题汇编（近几年） 5 图形的变换

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会．在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（）

A、图形的平移 B、图形的旋转 C、图形的轴对称 D、图形的相似

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3. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（）

A、12 B、6 C、6 $\sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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6. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A D = 9$ ， $A B = 7$ ，点F是 $B C$ 上一点，点E在 $A D$ 上，将矩形纸片沿直线 $E F$ 折叠，点A落在点 $A^{'}$ 处．点B恰好落在边 $C D$ 上的点 $B^{'}$ 处， $A^{'} B$ 交 $A D$ 于点G，若 $C B^{'} = 3$ ，则四边形 $E F B^{'} G$ 的面积等于（）

A、 $\frac{35}{3}$ B、 $\frac{55}{3}$ C、 $\frac{35}{2}$ D、 $\frac{145}{6}$

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二、填空题

7. 太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯 $A B$ 的坡度 $i = 5 ： 12$ （ $i$ 为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端 $A$ 以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端 $B$ ，则王老师上升的铅直高度 $B C$ 为米．

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8. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $A E$ 与 $C D$ 交于点 $F$ ，则 $D F$ 的长为．

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9.
如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣1，1），C（﹣2，2），将△ABC向右平移4个单位，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′、B′、C′，再将△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，点A′、B′、C′的对应点分别为A″、B″、C″，则点A″的坐标为．

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10.
如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE=1.5米，则这棵树的高度为米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°=0.8090，cos54°=0.5878，tan54°=1.3764）

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11. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm.

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三、解答题

12. 某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌．某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得 $A B = 100 cm$ ， $B C = 80 cm$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $∠ B C D = 75 °$ ，四边形 $D E F G$ 为矩形，且 $D E = 5 cm$ ．请帮助该小组求出指示牌最高点 $A$ 到地面 $E F$ 的距离（结果精确到 $0.1 cm$ ．参考数据： $\sin 75 ° \approx 0.97$ ， $\cos 75 ° \approx 0.26$ ， $\tan 75 ° \approx 3.73$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）．

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四、综合题

13. 请阅读下列材料，并完成相应的任务：
在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y，使得AX=BY=XY．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：
第一步，在CA上作出一点D，使得CD=CB，连接BD．第二步，在CB上取一点Y'，作Y'Z'∥CA，交BD于点Z'，并在AB上取一点A'，使Z'A'=Y'Z'．第三步，过点A作AZ∥A'Z'，交BD于点Z．第四步，过点Z作ZY∥AC，交BC于点Y，再过点Y作YX∥ZA，交AC于点X．
则有AX=BY=XY．
下面是该结论的部分证明：
证明：∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ，
又∵∠A'BZ'=∠ABZ．∴△BA'Z'～△BAZ．
∴ $\frac{Z' A'}{Z A} = \frac{B Z'}{B Z}$ ．
同理可得 $\frac{Z' Y'}{Z Y} = \frac{B Z'}{B Z}$ ．∴ $\frac{Z' A'}{Z A} = \frac{Y' Z'}{Y Z}$ ．
∵Z'A'=Y'Z'，∴ZA=YZ．
任务：

(1)、请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形AXYZ的形状，并加以证明；

(2)、请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成AX=BY=XY的证明过程；

(3)、上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY，从而确定了点Z，Y的位置，这里运用了下面一种图形的变化是．

A、平移 B、旋转 C、轴对称 D、位似

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14. 祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．

项目	内容
课题	测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示意图		说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．
测量数据	∠A的度数	∠B的度数	AB的长度
	38°	28°	234米
…	…

(1)、请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）

(2)、该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．

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15.
综合与实践
背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或3 $\sqrt{2}$ ，4 $\sqrt{2}$ ，5 $\sqrt{2}$ 的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．
实践操作如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．
第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．
第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．

(1)、请在图2中证明四边形AEFD是正方形．

(2)、请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；

(3)、请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；

(4)、在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

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16. 综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $▱ A B C D$ 中， $B E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $C D$ 的中点，连接 $E F$ ， $B F$ ，试猜想 $E F$ 与 $B F$ 的数量关系，并加以证明；
独立思考：

(1)、请解答老师提出的问题；

(2)、实践探究：
希望小组受此问题的启发，将 $▱ A B C D$ 沿着 $B F$ （ $F$ 为 $C D$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点 $C$ 的对应点为 $C'$ ，连接 $D C'$ 并延长交 $A B$ 于点 $G$ ，请判断 $A G$ 与 $B G$ 的数量关系，并加以证明；

(3)、问题解决：
智慧小组突发奇想，将 $▱ A B C D$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图③，点A的对应点为 $A'$ ，使 $A' B ⊥ C D$ 于点 $H$ ，折痕交 $A D$ 于点 $M$ ，连接 $A' M$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ．该小组提出一个问题：若此 $▱ A B C D$ 的面积为20，边长 $A B = 5$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ，求图中阴影部分（四边形 $B H N M$ ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

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17. 阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．

图算法

图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系： $F = \frac{9}{5} C + 32$ 得出，当 $C = 10$ 时， $F = 50$ ．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．

再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？

我们可以利用公式 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ 求得 $R$ 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个 $120 °$ 的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．

图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．

任务：

(1)、请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

(2)、请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的符合题意性：

①用公式 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ 计算：当 $R_{1} = 7.5$ ， $R_{2} = 5$ 时， $R$ 的值为多少；

②如图，在 $△ A O B$ 中， $∠ A O B = 120 °$ ， $O C$ 是 $△ A O B$ 的角平分线， $O A = 7.5$ ， $O B = 5$ ，用你所学的几何知识求线段 $O C$ 的长．

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