吉林省中考数学真题汇编（近三年）5 图形的性质----四边形和多边形、平行线

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）

A、10° B、20° C、50° D、70°

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2. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在第二象限，∠BAO=60°，BC交y轴于点D，DB：DC=3：1．若函数y= $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

3. 我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是．

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4. 正五边形的一个外角的大小为度．

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5. 如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6。先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为。

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6. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 10 ， B D ⊥ A D$ ．若将 $Δ B C D$ 沿 $B D$ 折叠，点 $C$ 与边 $A B$ 的中点 $E$ 恰好重合，则四边形 $B C D E$ 的周长为．

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三、解答题

7. 墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座 $A$ 与地面的距离 $A B$ 为 $170 c m$ ，花洒 $A C$ 的长为 $30 c m$ ，与墙壁的夹角 $∠ C A D$ 为43°．求花洒顶端 $C$ 到地面的距离 $C E$ （结果精确到 $1 c m$ ）（参考数据： $\sin 43^{0} = 0.68$ ， $\cos 43^{0} = 0.73$ ， $\tan 43^{0} = 0.93$ ）

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8. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A D$ 上，以 $C$ 为圆心， $A E$ 长为半径画弧，交边 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $B E$ 、 $D F$ ．求证： $Δ A B E ≅ Δ C D F$ ．

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B > A C$ ，点D在边 $A B$ 上，且 $B D = C A$ ，过点D作 $D E / / A C$ 并截取 $D E = A B$ ，且点C，E在 $A B$ 同侧，连接 $B E$ ．

求证： $Δ D E B ≅ Δ A B C$ ．

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四、作图题

10. 图①、图2均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点 $A$ ，点 $B$ 均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

(1)、在图①中，以点 $A$ ， $B$ ， $C$ 为顶点画一个等腰三角形；

(2)、在图②中，以点 $A$ ， $B$ ， $D$ ， $E$ 为顶点画一个面积为3的平行四边形．

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五、综合题

11. 性质探究

(1)、如图①，在等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 120^{0}$ ，则底边 $A B$ 与腰 $A C$ 的长度之比为．

(2)、理解运用
若顶角为120°的等腰三角形的周长为 $8 + 4 \sqrt{3}$ ，则它的面积为；

(3)、如图②，在四边形 $E F G H$ 中， $E F = E G = E H$ ．
①求证： $∠ E F G + ∠ E H G = ∠ F G H$ ；

②在边 $F G ， G H$ 上分别取中点 $M ， N$ ，连接 $M N$ ．若 $∠ F G H = 120^{0}$ ， $E F = 10$ ，直接写出线段 $M N$ 的长．

(4)、类比拓展
顶角为 $2 σ$ 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含 $σ$ 的式子表示）．

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12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， $A C = 4$ ， $B D = 8$ ，点E在边AD上， $A E = \frac{1}{3} A D$ ，连结BE交AC于点M ．

(1)、求AM的长．

(2)、 $\tan ∠ M B O$ 的值为．

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，O是对角线 $A C$ 、 $B D$ 的交点， $B E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为点E、F．

(1)、求证： $O E = O F$ ．

(2)、若 $B E = 5$ ， $O F = 2$ ，求 $\tan ∠ O B E$ 的值．

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14. （教材呈现）下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

(1)、（问题解决）
如图①，已知矩形纸片 $A B C D (A B > A D)$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点A落在边 $D C$ 上，点A的对应点为 $A^{'}$ ，折痕为 $D E$ ，点E在 $A B$ 上．求证：四边形 $A E A^{'} D$ 是正方形．

(2)、（规律探索）由（问题解决）可知，图①中的 $Δ A^{'} D E$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A^{'}$ 沿 $D C$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $P F$ ，点 $F$ 在 $D C$ 上，点P在 $A B$ 上，那么 $Δ P Q F$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

(3)、（结论应用）在图②中，当 $Q C = Q P$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为 $Q G$ ，点G在 $A B$ 上．要使四边形 $P G Q F$ 为菱形，则 $\frac{A D}{A B} =$ ．

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15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15。点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动。当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作 $▱$ PQMN。设 $▱$ PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S。点P的运动时间为t秒。

(1)、①AB的长为；
②PN的长用含t的代数式表示为。

(2)、当 $▱$ PQMN为矩形时，求t的值

(3)、当 $▱$ PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式

(4)、当过点P且平行于BC的直线经过 $▱$ PQMN一边中点时，直接写出t的值

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16. 图①，图②均为 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段 $A B$ ，在图②中已画出线段 $C D$ ，其中 $A 、 B 、 C 、 D$ 均为格点，按下列要求画图：

(1)、在图①中，以 $A B$ 为对角线画一个菱形 $A E B F$ ，且 $E ， F$ 为格点；

(2)、在图②中，以 $C D$ 为对角线画一个对边不相等的四边形 $C G D H$ ，且 $G ， H$ 为格点， $∠ C G D = ∠ C H D = 90^{0}$ .

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 4 c m ， A B = 3 c m$ ， $E$ 为边 $B C$ 上一点， $B E = A B$ ，连接 $A E$ ．动点 $P 、 Q$ 从点 $A$ 同时出发，点 $P$ 以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度沿 $A E$ 向终点 $E$ 运动；点 $Q$ 以 $2 c m / s$ 的速度沿折线 $A D - D C$ 向终点 $C$ 运动．设点 $Q$ 运动的时间为 $x (s)$ ，在运动过程中，点 $P$ ，点 $Q$ 经过的路线与线段 $P Q$ 围成的图形面积为 $y (c m^{2})$ ．

(1)、 $A E =$ $c m$ ， $∠ E A D =$ °；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、当 $P Q = \frac{5}{4} c m$ 时，直接写出 $x$ 的值．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 cm$ ， $A D = \sqrt{3} cm$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿折线 $A B - B C$ 向终点 $C$ 运动，在边 $A B$ 上以 $1 cm/s$ 的速度运动；在边 $B C$ 上以 $\sqrt{3} cm/s$ 的速度运动，过点 $P$ 作线段 $P Q$ 与射线 $D C$ 相交于点 $Q$ ，且 $∠ P Q D = 60 °$ ，连接 $P D$ ， $B D$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $x (s)$ ， $△ D P Q$ 与 $△ D B C$ 重合部分图形的面积为 $y ({cm}^{2})$ ．

(1)、当点 $P$ 与点 $A$ 重合时，直接写出 $D Q$ 的长；

(2)、当点 $P$ 在边 $B C$ 上运动时，直接写出 $B P$ 的长（用含 $x$ 的代数式表示）；

(3)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

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19. 实践与探究

(1)、操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF ，则 $∠ E A F =$ 度．

(2)、操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N ．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 $∠ A E F =$ 度．

(3)、在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
设AM与NF的交点为点P．求证 $△ A N P ≌ △ F N E$ ：．

(4)、若 $A B = \sqrt{3}$ ，则线段AP的长为．

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20. 能够完全重合的平行四边形纸片 $A B C D$ 和 $A E F G$ 按图①方式摆放，其中 $A D = A G = 5$ ， $A B = 9$ ．点D，G分别在边 $A E$ ， $A B$ 上， $C D$ 与 $F G$ 相交于点H．

(1)、（探究）求证：四边形 $A G H D$ 是菱形．

(2)、（操作一）固定图①中的平行四边形纸片 $A B C D$ ，将平行四边形纸片 $A E F G$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．

(3)、（操作二）四边形纸片 $A E F G$ 绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接 $D G$ ， $C F$ ，如图③若 $\sin ∠ B A D = \frac{4}{5}$ ，则四边形 $D C F G$ 的面积为．

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