山西省中考数学真题汇编（近几年） 4 图形的性质

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是（）

A、青 B、春 C、梦 D、想

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2. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为2，以 $A$ 为圆心， $A C$ 的长为半径画弧，得 $\overset{⌢}{E C}$ ，连接 $A C$ ， $A E$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$

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3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1=145°，则∠2的度数是（）

A、30° B、35° C、40° D、45°

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4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= $2 \sqrt{3}$ ，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4} - \frac{π}{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4} + \frac{π}{2}$ C、 $2 \sqrt{3} - π$ D、 $4 \sqrt{3} - \frac{π}{2}$

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5. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 $A C = B D = 12 c m$ ， $C$ ， $D$ 两点之间的距离为 $4 c m$ ，圆心角为 $60 °$ ，则图中摆盘的面积是（）

A、 $80 π c m^{2}$ B、 $40 π c m^{2}$ C、 $24 π c m^{2}$ D、 $2 π c m^{2}$

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6. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ，连接 $O B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $A$ 作 $A D / / O B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $C D$ ．若 $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ O C D$ 为（）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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二、填空题

8. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $A E$ 与 $C D$ 交于点 $F$ ，则 $D F$ 的长为．

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $B D = 8$ ， $A C = 6$ ， $O E / / A B$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，则 $O E$ 的长为．

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．

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11. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm.

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $A B$ 边上的一点，且 $A D = 3 B D$ ，连接 $C D$ 并取 $C D$ 的中点 $E$ ，连接 $B E$ ，若 $∠ A C D = ∠ B E D = 45 °$ ，且 $C D = 6 \sqrt{2}$ ，则 $A B$ 的长为．

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三、解答题

13. 已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EH，∠C=∠H.求证：BC=DH.

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14. 已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE=OF．

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15. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：△ADE≌△CBF．

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16. 如图，四边形 $O A B C$ 是平行四边形，以点 $O$ 为圆心， $O C$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点 $B$ ，与 $A O$ 相交于点 $D$ ， $A O$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $E B$ 交 $O C$ 于点 $F$ ，求 $∠ C$ 和 $∠ E$ 的度数．

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四、作图题

17. 阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

×年×月×日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 $A B$ ，现根据木板的情况，要过 $A B$ 上的一点 $C$ ，作出 $A B$ 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 $A B$ 上量出 $C D = 30 c m$ ，然后分别以 $D$ ， $C$ 为圆心，以 $50 c m$ 与 $40 c m$ 为半径画圆弧，两弧相交于点 $E$ ，作直线 $C E$ ，则 $∠ D C E$ 必为 $90 °$ ．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 $M$ ， $N$ 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点 $M$ 与点 $C$ 重合，用铅笔在木板上将点 $N$ 对应的位置标记为点 $Q$ ，保持点 $N$ 不动，将木棒绕点 $N$ 旋转，使点 $M$ 落在 $A B$ 上，在木板上将点 $M$ 对应的位置标记为点 $R$ ．然后将 $R Q$ 延长，在延长线上截取线段 $Q S = M N$ ，得到点 $S$ ，作直线 $S C$ ，则 $∠ R C S = 90 °$ ．

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？

……

任务：

(1)、填空；“办法一”依据的一个数学定理是；

(2)、根据“办法二”的操作过程，证明 $∠ R C S = 90 °$ ；

(3)、①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $C$ 作出 $A B$ 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）

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五、综合题

18. 综合与实践
动手操作：

第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.

第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3

第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.

问题解决：

(1)、在图5中，∠BEC的度数是， $\frac{A E}{B E}$ 的值是；

(2)、在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；

(3)、在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：

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19. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)

(1)、任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是m.

(2)、任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆GH的高度.
(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)

(3)、任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).

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20. 阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 $O I^{2} = R^{2} - 2 R r$ .

如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d²＝R²﹣2Rr．

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.

∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，

∴△MDI∽△ANI，

∴ $\frac{I M}{I A} = \frac{I D}{I N}$ ，

∴ $I A \cdot I D = I M \cdot I N$ ①，

如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，

∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，

∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA，

∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，

∴△AIF∽△EDB，

∴ $\frac{I A}{D E} = \frac{I F}{B D}$ ，∴ $I A \cdot B D = D E \cdot I F$ ②，

任务：

(1)、观察发现： $I M = R + d$ ， $I N =$ (用含R，d的代数式表示)；

(2)、请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

(3)、请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

(4)、应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm.

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21. 综合与实践
问题情境：

如图①，点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 内一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将 $R t Δ A B E$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $Δ C B E^{'}$ （点 $A$ 的对应点为点 $C$ ），延长 $A E$ 交 $C E^{'}$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ ．

猜想证明：

(1)、试判断四边形 $B E^{'} F E$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图②，若 $D A = D E$ ，请猜想线段 $C F$ 与 $F E^{'}$ 的数量关系并加以证明；
解决问题：

(3)、如图①，若 $A B = 15$ ， $C F = 3$ ，请直接写出 $D E$ 的长．

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22. 综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $▱ A B C D$ 中， $B E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $C D$ 的中点，连接 $E F$ ， $B F$ ，试猜想 $E F$ 与 $B F$ 的数量关系，并加以证明；
独立思考：

(1)、请解答老师提出的问题；

(2)、实践探究：
希望小组受此问题的启发，将 $▱ A B C D$ 沿着 $B F$ （ $F$ 为 $C D$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点 $C$ 的对应点为 $C'$ ，连接 $D C'$ 并延长交 $A B$ 于点 $G$ ，请判断 $A G$ 与 $B G$ 的数量关系，并加以证明；

(3)、问题解决：
智慧小组突发奇想，将 $▱ A B C D$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图③，点A的对应点为 $A'$ ，使 $A' B ⊥ C D$ 于点 $H$ ，折痕交 $A D$ 于点 $M$ ，连接 $A' M$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ．该小组提出一个问题：若此 $▱ A B C D$ 的面积为20，边长 $A B = 5$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ，求图中阴影部分（四边形 $B H N M$ ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

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