山西省中考数学真题汇编（近几年） 3 函数

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ ，则下列描述错误的是（）

A、图象位于第一，第三象限 B、图象必经过点 $(4 ， \frac{3}{2})$ C、图象不可能与坐标轴相交 D、 $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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2. 抛物线的函数表达式为 $y = 3 {(x - 2)}^{2} + 1$ ，若将 $x$ 轴向上平移2个单位长度，将 $y$ 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）

A、 $y = 3 {(x + 1)}^{2} + 3$ B、 $y = 3 {(x - 5)}^{2} + 3$ C、 $y = 3 {(x - 5)}^{2} - 1$ D、 $y = 3 {(x + 1)}^{2} - 1$

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3. 竖直上抛物体离地面的高度 $h (m)$ 与运动时间 $t (s)$ 之间的关系可以近似地用公式 $h = - 5 t^{2} + v_{0} t + h_{0}$ 表示，其中 $h_{0} (m)$ 是物体抛出时离地面的高度， $v_{0} (m / s)$ 是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面 $1.5 m$ 的高处以 $20 m / s$ 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）

A、 $23.5 m$ B、 $22.5 m$ C、 $21.5 m$ D、 $20.5 m$

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4. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k < 0)$ 的图像上，且 $x_{1} < x_{2} < 0 < x_{3}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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5. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）

A、 $y = \frac{26}{675} x^{2}$ B、 $y = - \frac{26}{675} x^{2}$ C、 $y = \frac{13}{1350} x^{2}$ D、 $y = - \frac{13}{1350} x^{2}$

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6. 用配方法将二次函数y=x²﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）²+k的形式为（）

A、y=（x﹣4）²+7 B、y=（x﹣4）²﹣25 C、y=（x+4）²+7 D、y=（x+4）²﹣25

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7. 一个寻宝游戏的寻宝通道如图①所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA， OB，OC组成。为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图像大致如图②所示，则寻宝者的行进路线可能为：（）

A、A→O→B B、B→A→C C、B→O→C D、C→B→O

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二、填空题

8. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部” $A$ ， $B$ 两点的坐标分别为 $(- 2 ， 2)$ ， $(- 3 ， 0)$ ，则叶杆“底部”点 $C$ 的坐标为．

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9. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4，0)，点D的坐标为(-1，4)，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过点C，则k的值为.

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三、综合题

10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A，点C分别在x轴，y轴的正半轴上，函数y=2x的图象与CB交于点D，函数y= $\frac{k}{x}$ （k为常数，k≠0）的图象经过点D，与AB交于点E，与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．

(1)、求函数y= $\frac{k}{x}$ 的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；

(2)、求△AEF的面积．

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11.
如图，抛物线y=﹣ $\frac{\sqrt{3}}{9}$ x²+ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ x+3 $\sqrt{3}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．

(1)、求直线BC的函数表达式；

(2)、①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；

(3)、试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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12. 如图，一次函数y₁=k₁x+b（k₁≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于点A，B，与反比例函数y₂= $\frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象相交于点C（﹣4，﹣2），D（2，4）．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、当x为何值时，y₁＞0；

(3)、当x为何值时，y₁＜y₂ ，请直接写出x的取值范围．

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13. 综合与探究
如图，抛物线y= $\frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x - 4$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．

(1)、求A，B，C三点的坐标

(2)、试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

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14. 综合与探究
如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ 经过点A(-2，0)，B(4，0)两点，与 $y$ 轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 $m (1 < m < 4)$ .连接AC，BC，DB，DC.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、△BCD的面积等于△AOC的面积的 $\frac{3}{4}$ 时，求 $m$ 的值；

(3)、在(2)的条件下，若点M是 $x$ 轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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15. 综合与探究
如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $D$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，点 $D$ 的坐标为 $(4 ， - 3)$ ．

(1)、请直接写出 $A$ ， $B$ 两点的坐标及直线 $l$ 的函数表达式；

(2)、若点 $P$ 是抛物线上的点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ $(m \geq 0)$ ，过点 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴，垂足为 $M$ ． $P M$ 与直线 $l$ 交于点 $N$ ，当点 $N$ 是线段 $P M$ 的三等分点时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、若点 $Q$ 是 $y$ 轴上的点，且 $∠ A D Q = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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16. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 6$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ．

(1)、求 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的坐标并直接写出直线 $A C$ ， $B C$ 的函数表达式；

(2)、点 $P$ 是直线 $A C$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $B C$ 的平行线 $l$ ，交线段 $A C$ 于点 $D$ ．
①试探究：在直线 $l$ 上是否存在点 $E$ ，使得以点 $D$ ， $C$ ， $B$ ， $E$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线 $l$ 交于点 $M$ ，与直线 $A C$ 交于点 $N$ ．当 $S_{△ D M N} = S_{△ A O C}$ 时，请直接写出 $D M$ 的长．

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