河北省中考数学真题汇编（近几年） 4 图形的性质

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（）

A、30° B、25° C、20° D、15°

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2. 一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（）

A、 $A$ 代表 B、 $B$ 代表 C、 $C$ 代表 D、 $B$ 代表

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3. 如图，已知四条线段 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 中的一条与挡板另一侧的线段 $m$ 在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（）

A、 $a$ B、 $b$ C、 $c$ D、 $d$

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4. 如图1， $▱ A B C D$ 中， $A D > A B$ ， $∠ A B C$ 为锐角．要在对角线 $B D$ 上找点 $N$ ， $M$ ，使四边形 $A N C M$ 为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（）

图2

A、甲、乙、丙都是 B、只有甲、乙才是 C、只有甲、丙才是 D、只有乙、丙才是

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5. 如图，点 $O$ 为正六边形 $A B C D E F$ 对角线 $F D$ 上一点， $S_{△ A F O} = 8$ ， $S_{△ C D O} = 2$ ，则 $S_{正六边形 A B C D E F}$ 的值是（）

A、20 B、30 C、40 D、随点 $O$ 位置而变化

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6. 如图，等腰 $△ A O B$ 中，顶角 $∠ A O B = 40 °$ ，用尺规按①到④的步骤操作：

①以 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径画圆；

②在 $⊙ O$ 上任取一点 $P$ （不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $A P$ ；

③作 $A B$ 的垂直平分线与 $⊙ O$ 交于 $M$ ， $N$ ；

④作 $A P$ 的垂直平分线与 $⊙ O$ 交于 $E$ ， $F$ ．

结论Ⅰ：顺次连接 $M$ ， $E$ ， $N$ ， $F$ 四点必能得到矩形；

结论Ⅱ： $⊙ O$ 上只有唯一的点 $P$ ，使得 $S_{扇形 O F M} = S_{扇形 O A B}$ ．

对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）

A、Ⅰ和Ⅱ都对 B、Ⅰ和Ⅱ都不对 C、Ⅰ不对Ⅱ对 D、Ⅰ对Ⅱ不对

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7. 有一题目：“已知；点 $O$ 为 $Δ A B C$ 的外心， $∠ B O C = 130 °$ ，求 $∠ A$ ．”嘉嘉的解答为：画 $Δ A B C$ 以及它的外接圆 $O$ ，连接 $O B$ ， $O C$ ，如图．由 $∠ B O C = 2 ∠ A = 130 °$ ，得 $∠ A = 65 °$ ．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全， $∠ A$ 还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（）

A、淇淇说的对，且 $∠ A$ 的另一个值是115° B、淇淇说的不对， $∠ A$ 就得65° C、嘉嘉求的结果不对， $∠ A$ 应得50° D、两人都不对， $∠ A$ 应有3个不同值

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8. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）

A、1，4，5 B、2，3，5 C、3，4，5 D、2，2，4

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9. 如图，从笔直的公路 $l$ 旁一点P出发，向西走 $6 km$ 到达 $l$ ；从P出发向北走 $6 km$ 也到达l．下列说法错误的是（）

A、从点P向北偏西45°走 $3 km$ 到达l B、公路l的走向是南偏西45° C、公路l的走向是北偏东45° D、从点P向北走 $3 km$ 后，再向西走 $3 km$ 到达l

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10. 如图1，已知 $∠ A B C$ ，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，

第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线 BA ， BC 于点D，E；

第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在 $∠ A B C$ 内部交于点P；

第三步：画射线 BP ．射线 BP 即为所求．

下列正确的是（）

A、a，b均无限制 B、 $a > 0$ ， $b > \frac{1}{2} D E$ 的长 C、a有最小限制，b无限制 D、 $a \geq 0$ ， $b < \frac{1}{2} D E$ 的长

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11. 如图，将 $Δ A B C$ 绕边 $A C$ 的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的 $Δ C D A$ 与 $Δ A B C$ 构成平行四边形，并推理如下：
点A，C分别转到了点C，A处，

而点B转到了点D处．

∵ $C B = A D$ ，

∴四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵ $C B = A D$ ，”和“∴四边形……”之间作补充．下列正确的是（）

A、嘉淇推理严谨，不必补充 B、应补充：且 $A B = C D$ ， C、应补充：且 $A B // C D$ D、应补充：且 $O A = O C$ ，

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12. 如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、无数条

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13. 对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n ． ”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x ，再取最小整数n ．
甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．

乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．

丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍时就可移转过去；结果取n＝13．

下列正确的是（）

A、甲的思路错，他的n值对 B、乙的思路和他的n值都对 C、甲和丙的n值都对 D、甲、乙的思路都错，而丙的思路对

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14. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

则回答正确的是（）

A、◎代表∠FEC B、@代表同位角 C、▲代表∠EFC D、※代表AB

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15. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图， $∠ A C D$ 是 $△ A B C$ 的外角．

求证： $∠ A C D = ∠ A + ∠ B$ ．

下列说法正确的是（）

A、证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B、证法1用严谨的推理证明了该定理 C、证法2用特殊到一般法证明了该定理 D、证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

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二、填空题

16. 正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n= ．

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17. 下图是可调躺椅示意图（数据如图）， $A E$ 与 $B D$ 的交点为 $C$ ，且 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ E$ 保持不变．为了舒适，需调整 $∠ D$ 的大小，使 $∠ E F D = 110 °$ ，则图中 $∠ D$ 应（填“增加”或“减少”）度．

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18. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=°．

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19. 如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A，B间的距离为m．

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20. 如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而 $\frac{90^{0}}{2}$ =45是360°（多边形外角和）的 $\frac{1}{8}$ ，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．

图2中的图案外轮廓周长是；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是．

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三、综合题

21. 如图1和2，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝ $\frac{4}{3}$ ．点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P ，设BP＝x ．

(1)、如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E ，直接指出PE与BC的位置关系；

(2)、当x＝4时，如图2，⊙O与AC交于点Q ，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧 $\overset{⌢}{P Q}$ 长度的大小；

(3)、当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．

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22. 如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE ， ∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B ， C重合），点B ， E在AD异侧，I为△APC的内心．

(1)、求证：∠BAD＝∠CAE；

(2)、设AP＝x ，请用含x的式子表示PD ，并求PD的最大值；

(3)、当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m ， n的值．

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23. 如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．

(1)、求证：△APM≌△BPN；

(2)、当MN=2BN时，求α的度数；

(3)、若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．

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24. 如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧 $\vec{A B}$ ，使点B在O右下方，且tan∠AOB= $\frac{4}{3}$ ，在优弧 $\vec{A B}$ 上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．

(1)、若优弧上一段 $\vec{A P}$ 的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；

(2)、求x的最小值，并指出此时直线l与 $\vec{A B}$ 所在圆的位置关系；

(3)、若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．

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25. 如图，点O为 $A B$ 中点，分别延长 $O A$ 到点C， $O B$ 到点D，使 $O C = O D$ ．以点O为圆心，分别以 $O A$ ， $O C$ 为半径在 $C D$ 上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接 $O P$ 并延长交大半圆于点E，连接 $A E$ ， $C P$ ．

(1)、①求证： $Δ A O E ≌ Δ P O C$ ；
②写出∠1，∠2和 $∠ C$ 三者间的数量关系，并说明理由．

(2)、若 $O C = 2 O A = 2$ ，当 $∠ C$ 最大时，直接指出 $C P$ 与小半圆的位置关系，并求此时 $S_{扇形 E O D}$ （答案保留 $π$ ）．

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26. 如图， $⊙ O$ 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 $A_{n}$ （ $n$ 为1~12的整数），过点 $A_{7}$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A_{1} A_{11}$ 延长线于点 $P$ ．

(1)、通过计算比较直径和劣弧 $\overset{⌢}{A_{7} A_{11}}$ 长度哪个更长；

(2)、连接 $A_{7} A_{11}$ ，则 $A_{7} A_{11}$ 和 $P A_{1}$ 有什么特殊位置关系？请简要说明理由；

(3)、求切线长 $P A_{7}$ 的值．

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27. 在一平面内，线段 $A B = 20$ ，线段 $B C = C D = D A = 10$ ，将这四条线段顺次首尾相接．把 $A B$ 固定，让 $A D$ 绕点 $A$ 从 $A B$ 开始逆时针旋转角 $α (α > 0 °)$ 到某一位置时， $B C$ ， $C D$ 将会跟随出现到相应的位置．

(1)、论证如图1，当 $A D / / B C$ 时，设 $A B$ 与 $C D$ 交于点 $O$ ，求证： $A O = 10$ ；

(2)、发现当旋转角 $α = 60 °$ 时， $∠ A D C$ 的度数可能是多少？

(3)、尝试取线段 $C D$ 的中点 $M$ ，当点 $M$ 与点 $B$ 距离最大时，求点 $M$ 到 $A B$ 的距离；

(4)、拓展 ①如图2，设点 $D$ 与 $B$ 的距离为 $d$ ，若 $∠ B C D$ 的平分线所在直线交 $A B$ 于点 $P$ ，直接写出 $B P$ 的长（用含 $d$ 的式子表示）；
②当点 $C$ 在 $A B$ 下方，且 $A D$ 与 $C D$ 垂直时，直接写出 $α$ 的余弦值．

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