河北省中考数学真题汇编（近几年） 3 函数

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）

A、甲的结果正确 B、乙的结果正确 C、甲、乙的结果合在一起才正确 D、甲、乙的结果合在一起也不正确

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2. 如图，函数y＝ ${\begin{matrix} \frac{1}{x} (x > 0) \\ - \frac{1}{x} (x < 0) \end{matrix}$ 的图象所在坐标系的原点是（）

A、点M B、点N C、点P D、点Q

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3. 如图，若抛物线y=﹣x²+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若k≠0，b<0，则y=kx+b的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

5. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ， B ， C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A ， B两地．

(1)、A ， B间的距离为km；

(2)、计划修一条从C到铁路AB的最短公路l ，并在l上建一个维修站D ，使D到A ， C的距离相等，则C ， D间的距离为km ．

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6. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 $T_{m}$ （m为1~8的整数）．函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象为曲线L．

(1)、若L过点 $T_{1}$ ，则k=；

(2)、若L过点 $T_{4}$ ，则它必定还过另一点 $T_{m}$ ，则m=；

(3)、若曲线L使得 $T_{1} ~ T_{8}$ 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有个．

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三、计算题

7. 如图，抛物线L： $y = - \frac{1}{2} (x - t) (x - t + 4)$ （常数t>0）与x轴从左到右的交点为B ， A ，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 于点P ，且OA·MP=12.

(1)、求k值；

(2)、当t=1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；

(3)、把L在直线MP左侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G ，用t表示图象G最高点的坐标；

(4)、设L与双曲线有个交点的横坐标为x₀ ，且满足4≤x₀≤6，通过L位置随t变化的过程，直接写出t的取值范围.

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四、综合题

8. 某商店能过调低价格的方式促销n个不同的玩具，调整后的单价y(元)与调整前的单价x（元）满足一次函数关系，如下表：

	第1个	第2个	第3个	第4个	…	第n个
调整前单价x（元）	x₁	x₂=6	x₃=72	x₄	…	x_n
调整后单价x（元）	y₁	y₂=4	y₃=59	y₄	…	y_n

已知这n个玩具调整后的单价都大于2元.

(1)、求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围；

(2)、某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？

(3)、这n个玩具调整前、后的平均单价分别为

\overline{x}

，

\overline{y}

，猜想

\overline{y}

与

\overline{x}

的关系式，并写出推导出过.

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9. 表格中的两组对应值满足一次函数 $y = k x + b$ ，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线 $l^{'}$ ．

x

－1

0

y

－2

1

(1)、求直线l的解析式；

(2)、请在图上画出直线 $l^{'}$ （不要求列表计算），并求直线 $l^{'}$ 被直线l和y轴所截线段的长；

(3)、设直线 $y = a$ 与直线l， $l^{'}$ 及 $y$ 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．

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10. 用承重指数 $W$ 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当 $x = 3$ 时， $W = 3$ ．

(1)、求W与x的函数关系式．

(2)、如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为 $x$ （厘米）， $Q = W_{厚} - W_{薄}$ ．
①求Q与x的函数关系式；

② $x$ 为何值时，Q是 $W_{薄}$ 的3倍？

（注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围）

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11. 长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S_头（m）．

(1)、当v＝2时，解答：
①求S_头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；

②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S_甲（m），求S_甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）

(2)、设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．

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12. 如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ $\frac{1}{2}$ x+5的图象l₁分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l₂与l₁交于点C（m，4）．

(1)、求m的值及l₂的解析式；

(2)、求S_△_AOC﹣S_△_BOC的值；

(3)、一次函数y=kx+1的图象为l₃ ，且1₁ ， l₂ ， l₃不能围成三角形，直接写出k的值．

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13. 如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y= $\frac{k}{x}$ （x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．

(1)、求k，并用t表示h；

(2)、设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；

(3)、若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v_乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v_乙的范围．

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14. 用绘图软件绘制双曲线 $m$ ： $y = \frac{60}{x}$ 与动直线 $l$ ： $y = a$ ，且交于一点，图1为 $a = 8$ 时的视窗情形．

(1)、当 $a = 15$ 时， $l$ 与 $m$ 的交点坐标为；

(2)、视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点 $O$ 始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，其可视范围就由 $- 15 \leq x \leq 15$ 及 $- 10 \leq y \leq 10$ 变成了 $- 30 \leq x \leq 30$ 及 $- 20 \leq y \leq 20$ （如图2）．当 $a = - 1.2$ 和 $a = - 1.5$ 时， $l$ 与 $m$ 的交点分别是点A和 $B$ ，为能看到 $m$ 在A和 $B$ 之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的 $\frac{1}{k}$ ，则整数 $k =$ ．

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15. 如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x²+bx的顶点为C ，且L与x轴右交点为D ．

(1)、若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

(2)、当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

(3)、设x₀≠0，点（x₀ ， y₁），（x₀ ， y₂），（x₀ ， y₃）分别在l ， a和L上，且y₃是y₁ ， y₂的平均数，求点（x₀ ， 0）与点D间的距离；

(4)、在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．

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16. 某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n²﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．
月份n（月）
1
2
成本y（万元/件）
11
12
需求量x（件/月）
120
100

(1)、求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；

(2)、求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

(3)、在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．

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17.
如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x=﹣5与x轴交于点D，直线y=﹣ $\frac{3}{8}$ x﹣ $\frac{39}{8}$ 与x轴及直线x=﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．

(1)、求点C，E的坐标及直线AB的解析式；

(2)、设面积的和S=S_△CDE+S_{四边形ABDO} ，求S的值；

(3)、在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S_△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里．

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18. 下图是某同学正在设计的一动画示意图， $x$ 轴上依次有 $A$ ， $O$ ， $N$ 三个点，且 $A O = 2$ ，在 $O N$ 上方有五个台阶 $T_{1} ~ T_{5}$ （各拐角均为 $90 °$ ），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶 $T_{1}$ 到 $x$ 轴距离 $O K = 10$ ．从点 $A$ 处向右上方沿抛物线 $L$ ： $y = - x^{2} + 4 x + 12$ 发出一个带光的点 $P$ ．

(1)、求点 $A$ 的横坐标，且在图中补画出 $y$ 轴，并直接指出点 $P$ 会落在哪个台阶上；

(2)、当点 $P$ 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 $L$ 形状相同的抛物线 $C$ ，且最大高度为11，求 $C$ 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 $T_{5}$ 有交点；

(3)、在 $x$ 轴上从左到右有两点 $D$ ， $E$ ，且 $D E = 1$ ，从点 $E$ 向上作 $E B ⊥ x$ 轴，且 $B E = 2$ ．在 $△ B D E$ 沿 $x$ 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 $C$ 下落的点 $P$ 能落在边 $B D$ （包括端点）上，则点 $B$ 横坐标的最大值比最小值大多少？
（注：（2）中不必写 $x$ 的取值范围）

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月份n（月）	1	2
成本y（万元/件）	11	12
需求量x（件/月）	120	100

x	－1	0
y	－2	1