北京市中考数学真题汇编（近五年）6 图形的性质---圆

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 $\overset{⌢}{P Q}$ ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交 $\overset{⌢}{P Q}$ 于点M，N；（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A、∠COM=∠COD B、若OM=MN，则∠AOB=20° C、MN∥CD D、MN=3CD

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二、填空题

2. 如图， $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A ， B$ 是切点．若 $∠ P = 50 °$ ，则 $∠ A O B =$ ．

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3. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上， $\vec{C B} = \vec{C D}$ ， $∠ C A D = 30 °$ ， $∠ A C D = 50 °$ ，则 $∠ A D B =$ ．

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4. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD=CD．若∠CAB=40°，则∠CAD= ．

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三、综合题

5. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D ⊥ B C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $∠ B A D = ∠ C A D$ ；

(2)、连接 $B O$ 并延长，交 $A C$ 于点 $F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，连接 $G C$ ．若 $⊙ O$ 的半径为5， $O E = 3$ ，求 $G C$ 和 $O F$ 的长．

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为1，对于点 $A$ 和线段 $B C$ ，给出如下定义：若将线段 $B C$ 绕点 $A$ 旋转可以得到 $⊙ O$ 的弦 $B^{'} C^{'}$ （ $B^{'} ， C^{'}$ 分别是 $B ， C$ 的对应点），则称线段 $B C$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”．

(1)、如图，点 $A ， B_{1} ， C_{1} ， B_{2} ， C_{2} ， B_{3} ， C_{3}$ 的横､纵坐标都是整数．在线段 $B_{1} C_{1} ， B_{2} C_{2} ， B_{3} C_{3}$ 中， $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”是；

(2)、 $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，点 $A (0 ， t)$ ，其中 $t \neq 0$ ．若 $B C$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”，求 $t$ 的值；

(3)、在 $△ A B C$ 中， $A B = 1 ， A C = 2$ ．若 $B C$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”，直接写出 $O A$ 的最小值和最大值，以及相应的 $B C$ 长．

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7. 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．

(1)、求证：∠ADC=∠AOF；

(2)、若sinC= $\frac{1}{3}$ ，BD=8，求EF的长．

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦 $A^{'} B^{'}$ （ $A^{'} ， B^{'}$ 分别为点A，B的对应点），线段 $A A^{'}$ 长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．

(1)、如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦 $P_{1} P_{2}$ 和 $P_{3} P_{4}$ ，则这两条弦的位置关系是；在点 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， P_{4}$ 中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；

(2)、若点A，B都在直线 $y = \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}$ 上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 $d_{1}$ ，求 $d_{1}$ 的最小值；

(3)、若点A的坐标为 $(2 ， \frac{3}{2})$ ，记线段AB到⊙O的“平移距离”为 $d_{2}$ ，直接写出 $d_{2}$ 的取值范围．

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，过 $⊙ O$ 外一点 $P$ 作 $⊙ O$ 的两条切线 $P C$ ， $P D$ ，切点分别为 $C$ ， $D$ ，连接 $O P$ ， $C D$ ．

(1)、求证： $O P ⊥ C D$ ；

(2)、连接 $A D$ ， $B C$ ，若 $∠ D A B = 50 °$ ， $∠ C B A = 70 °$ ， $O A = 2$ ，求 $O P$ 的长．

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10. 如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．已知AB=6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：

(1)、通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
0
2.0
2.3
2.1
0.9
0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

(2)、建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．

(3)、结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为cm．

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11. 在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．

(1)、当⊙O的半径为2时，
①在点P₁（ $\frac{1}{2}$ ，0），P₂（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ），P₃（ $\frac{5}{2}$ ，0）中，⊙O的关联点是．
②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．

(2)、⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

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12. 如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．

(1)、求证：DB=DE；

(2)、若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．

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13.
如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

(1)、求证：AC∥DE；

(2)、连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．

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14.
图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2．

(1)、①分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
②作直线PQ，交AB于点O；

(2)、以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是．

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x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y/cm	0	2.0	2.3	2.1		0.9	0