北京市中考数学真题汇编（近五年）5 图形的性质----四边形和多边形

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 内角和为540°的多边形是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列多边形中，内角和最大的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若正多边形的一个外角是 $60 °$ ，则该正多边形的内角和为（）

A、 $360 °$ B、 $540 °$ C、 $720 °$ D、 $900 °$

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4. 正五边形的外角和为（）

A、180° B、360° C、540° D、720°

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5. 正十边形的外角和为（）

A、180° B、360° C、720° D、1440°

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6. 若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）

A、6 B、12 C、16 D、18

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7. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（）

A、三棱柱 B、圆锥 C、四棱柱 D、圆柱

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8. 下列几何体中，是圆柱的为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $B C ， A D$ 上， $A F = E C$ ．只需添加一个条件即可证明四边形 $A E C F$ 是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．

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10. 把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为．

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三、解答题

11. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）

请根据该图完成这个推论的证明过程．

证明：S_矩形NFGD=S_△ADC﹣（S_△ANF+S_△FGC），S_矩形EBMF=S_△ABC﹣（+）．

易知，S_△ADC=S_△ABC ， = ， = ．

可得S_矩形NFGD=S_矩形EBMF ．

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四、综合题

12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = α ， M$ 为 $B C$ 的中点，点 $D$ 在 $M C$ 上，以点 $A$ 为中心，将线段 $A D$ 顺时针旋转 $α$ 得到线段 $A E$ ，连接 $B E ， D E$ ．

(1)、比较 $∠ B A E$ 与 $∠ C A D$ 的大小；用等式表示线段 $B E ， B M ， M D$ 之间的数量关系，并证明；

(2)、过点 $M$ 作 $A B$ 的垂线，交 $D E$ 于点 $N$ ，用等式表示线段 $N E$ 与 $N D$ 的数量关系，并证明．

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13. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = ∠ C A D = 90 °$ ，点 $E$ 在 $B C$ 上， $A E // D C ， E F ⊥ A B$ ，垂足为 $F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C D$ 是平行四边形；

(2)、若 $A E$ 平分 $∠ B A C ， B E = 5 ， \cos B = \frac{4}{5}$ ，求 $B F$ 和 $A D$ 的长．

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14. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

(1)、求证：四边形OEFG是矩形；

(2)、若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

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15. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线及直线外一点 $P$ ．
求作： $P Q$ ，使得 $P Q ∥ l$ ．
作法：如图，
①在直线上取一点 $A$ ，作射线 $P A$ ，以点 $A$ 为圆心， $A P$ 长为半径画弧，交 $P A$ 的延长线于点 $B$ ；
②在直线上取一点 $C$ （不与点 $A$ 重合），作射线 $B C$ ，以点 $C$ 为圆心， $C B$ 长为半径画弧，交 $B C$ 的延长线于点 $Q$ ；
③作直线 $P Q$ ．
所以直线 $P Q$ 就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明．
证明：∵ $A B =$ ， $C B =$ ，
∴ $P Q ∥ l$ （）（填推理的依据）．

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = A D$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $O E$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、若 $A B = \sqrt{5}$ ， $B D = 2$ ，求 $O E$ 的长．

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17. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $A B$ 上的一动点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $D E$ ，点 $A$ 关于直线 $D E$ 的对称点为 $F$ ，连接 $E F$ 并延长交 $B C$ 于点 $G$ ，连接 $D G$ ，过点 $E$ 作 $E H ⊥ D E$ 交 $D G$ 的延长线于点 $H$ ，连接 $B H$ ．

(1)、求证： $G F = G C$ ；

(2)、用等式表示线段 $B H$ 与 $A E$ 的数量关系，并证明．

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18. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．

(1)、求证：四边形BCDE为菱形；

(2)、连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．

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19.
在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x₁ ， y₁），点Q的坐标为（x₂ ， y₂），且x₁≠x₂ ， y₁≠y₂ ，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．

(1)、已知点A的坐标为（1，0），
①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

(2)、⊙O的半径为 $\sqrt{2}$ ，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

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20.
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

(1)、求证：BM=MN；

(2)、∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

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