北京市中考数学真题汇编（近五年）2 方程与不等式

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 方程组 ${\begin{matrix} x - y = 3 \\ 3 x - 8 y = 14 \end{matrix}$ 的解为（）

A、 ${\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = - 2 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} x = - 2 \\ y = 1 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 \end{matrix}$

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2. 用三个不等式 $a > b$ ， $a b > 0$ ， $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

3. 用一组 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值说明命题“若 $a < b$ ，则 $a c < b c$ ”是错误的，这组值可以是 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ．

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4. 方程 $\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x}$ 的解为．

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5. 某企业有 $A ， B$ 两条加工相同原材料的生产线．在一天内， $A$ 生产线共加工 $a$ 吨原材料，加工时间为 $(4 a + 1)$ 小时；在一天内， $B$ 生产线共加工 $b$ 吨原材料，加工时间为 $(2 b + 3)$ 小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到 $A ， B$ 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 $A$ 生产线的吨数与分配到 $B$ 生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给 $A$ 生产线分配了 $m$ 吨原材料，给 $B$ 生产线分配了 $n$ 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 $\frac{m}{n}$ 的值为．

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6. 方程组 ${\begin{array}{l} x - y = 1 \\ 3 x + y = 7 \end{array}$ 的解为．

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7. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则k的值是．

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8. 某公园划船项目收费标准如下：
船型
两人船
（限乘两人）
四人船
（限乘四人）
六人船
（限乘六人）
八人船
（限乘八人）
每船租金
（元/小时）
90
100
130
150
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．

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9. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．

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三、解答题

10. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 4 x - 5 > x + 1 \\ \frac{3 x - 4}{2} < x \end{array}$

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11. 关于x的方程 $x^{2} - 2 x + 2 m - 1 = 0$ 有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

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四、综合题

12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若 $m > 0$ ，且该方程的两个实数根的差为2，求 $m$ 的值．

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13. 关于x的一元二次方程x²﹣（k+3）x+2k+2=0．

(1)、求证：方程总有两个实数根；

(2)、若方程有一根小于1，求k的取值范围．

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14. 关于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+m²﹣1=0有两个不相等的实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．

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15. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0$ ．

(1)、当 $b = a + 2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)、若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根．

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