吉林省中考数学真题汇编（近三年）4 图形的性质----三角形的性质

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。如图， $A 、 B$ 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（）

A、两点之间，线段最短 B、平行于同一条直线的两条直线平行 C、垂线段最短 D、两点确定一条直线

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2. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B \neq A C$ ．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D ，使 $△ A C D$ 为等腰三角形．下列作法错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则 $∠ α$ 的大小为（）

A、 $85 °$ B、 $75 °$ C、 $65 °$ D、 $60 °$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B > A C$ ．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于 $B C$ 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线 $M N$ ，与边 $A B$ 相交于点D，连结 $C D$ ．下列说法不一定正确的是（）

A、 $∠ B D N = ∠ C D N$ B、 $∠ A D C = 2 ∠ B$ C、 $∠ A C D = ∠ D C B$ D、 $2 ∠ B + ∠ A C D = 90 °$

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5. 如图，在△ABC中，∠ACB为钝角。用直尺和圆规在边AB上确定一点D。使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

6. 如图，某单位要在河岸 $l$ 上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作 $C D ⊥ l$ 于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．

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7. 如图，已知线段 $A B = 2 cm$ ，其垂直平分线 $C D$ 的作法如下：①分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心， $b cm$ 长为半径画弧，两弧相交于 $C$ ， $D$ 两点；②作直线 $C D$ ．上述作法中 $b$ 满足的条作为 $b$ 1.（填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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8. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上， $B C // E F$ ，则 $∠ A D E$ 的大小为度．

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，D，E分别是边 $A B$ ， $A C$ 的中点．若 $△ A D E$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ．则四边形 $D B C E$ 的面积为．

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10. 正五边形的一个外角的大小为度．

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11. 如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°。过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度。

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12. 如图， $E$ 为 $Δ A B C$ 边 $C A$ 延长线上一点，过点 $E$ 作 $E D / / B C$ ．若 $∠ B A C = 70^{0}$ ， $∠ C E D = 50^{0}$ ，则 $∠ B =$ °．

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13. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 10 ， B D ⊥ A D$ ．若将 $Δ B C D$ 沿 $B D$ 折叠，点 $C$ 与边 $A B$ 的中点 $E$ 恰好重合，则四边形 $B C D E$ 的周长为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a$ （ $a$ 是常数，且 $a > 0$ ）与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．连结 $A C$ ，将线段 $A C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A D$ ，连结 $B D$ ．当 $B D$ 最短时， $a$ 的值为．

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三、解答题

15. 如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O ， AB＝AC ， ∠B＝∠C.求证：AD＝AE

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16. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B > A C$ ，点D在边 $A B$ 上，且 $B D = C A$ ，过点D作 $D E / / A C$ 并截取 $D E = A B$ ，且点C，E在 $A B$ 同侧，连接 $B E$ ．

求证： $Δ D E B ≅ Δ A B C$ ．

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17. 墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座 $A$ 与地面的距离 $A B$ 为 $170 c m$ ，花洒 $A C$ 的长为 $30 c m$ ，与墙壁的夹角 $∠ C A D$ 为43°．求花洒顶端 $C$ 到地面的距离 $C E$ （结果精确到 $1 c m$ ）（参考数据： $\sin 43^{0} = 0.68$ ， $\cos 43^{0} = 0.73$ ， $\tan 43^{0} = 0.93$ ）

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四、作图题

18. 图①、图②、图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M ，按下列要求作图：

(1)、在图①中，连结MA、MB ，使 $M A = M B$ ．

(2)、在图②中，连结MA、MB、MC ，使 $M A = M B = M C$ ．

(3)、在图③中，连结MA、MC ，使 $∠ A M C = 2 ∠ A B C$ ．

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19. 图①、图②、图③均是 $3 \times 3$ 的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $A B$ 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以 $A B$ 为边画 $△ A B C$ ．

要求：

a.在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；

b.三个图中所画的三角形的面积均不相等；

c.点C在格点上．

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五、综合题

20. 如图①，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，点 $E$ 为射线 $B C$ 上一点，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $F$ ．

(1)、若 $A B = a$ ．直接写出 $C D$ 的长（用含 $a$ 的代数式表示）；

(2)、若 $D F ⊥ B C$ ，垂足为 $G$ ，点 $F$ 与点 $D$ 在直线 $C E$ 的异侧，连接 $C F$ ，如图②，判断四边形 $A D F C$ 的形状，并说明理由；

(3)、若 $D F ⊥ A B$ ，直接写出 $∠ B D E$ 的度数．

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21. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上。在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法。

(1)、在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6。

(2)、在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6。

(3)、在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG=90°

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD ．作点A关于直线PD的对称点 $A^{'}$ ，连结 $A^{'} D$ 、 $A^{'} A$ ．设点P的运动时间为t秒．

(1)、线段AD的长为．

(2)、用含t的代数式表示线段BP的长．

(3)、当点 $A^{'}$ 在 $△ A B C$ 内部时，求t的取值范围．

(4)、当 $∠ A A^{'} D$ 与 $∠ B$ 相等时，直接写出t的值．

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23. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 4 c m$ ，动点P从点A出发，以 $2 c m / s$ 的速度沿 $A B$ 向点B匀速运动，过点P作 $P Q ⊥ A B$ ，交折线 $A C - C B$ 于点Q，以 $P Q$ 为边作等边三角形 $P Q D$ ，使点A，D在 $P Q$ 异侧．设点P的运动时间为 $x (s)$ $(0 < x < 2)$ ， $△ P Q D$ 与 $△ A B C$ 重叠部分图形的面积为 $y$ $(c m^{2})$ ．

(1)、 $A P$ 的长为 $c m$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

(2)、当点D落在边 $B C$ 上时，求x的值．

(3)、求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

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24. 如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ．点P从点A出发，沿折线AB- BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动.当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ.设点P的运动时间为t秒.。

(1)、当点P与点B重合时，求t的值．

(2)、用含 $t$ 的代数式表示线段 $C E$ 的长．

(3)、当 $△ P D Q$ 为锐角三角形时，求t的取值范围．

(4)、如图②，取 $P D$ 的中点M，连结 $Q M$ ．当直线 $Q M$ 与 $△ A B C$ 的一条直角边平行时，直接写出t的值．

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25. 性质探究

(1)、如图①，在等腰三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 120^{0}$ ，则底边 $A B$ 与腰 $A C$ 的长度之比为．

(2)、理解运用
若顶角为120°的等腰三角形的周长为 $8 + 4 \sqrt{3}$ ，则它的面积为；

(3)、如图②，在四边形 $E F G H$ 中， $E F = E G = E H$ ．
①求证： $∠ E F G + ∠ E H G = ∠ F G H$ ；

②在边 $F G ， G H$ 上分别取中点 $M ， N$ ，连接 $M N$ ．若 $∠ F G H = 120^{0}$ ， $E F = 10$ ，直接写出线段 $M N$ 的长．

(4)、类比拓展
顶角为 $2 σ$ 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含 $σ$ 的式子表示）．

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