吉林省中考数学真题汇编（近三年）3 函数

试卷更新日期：2021-08-20 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数 $y = - \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点C ，连结BC交x轴于点D ．若点A的横坐标为1， $B C = 3 B D$ ，则点B的横坐标为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $3$

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2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(3 ， 2)$ ， $A B ⊥ x$ 轴于点B，点C是线段 $O B$ 上的点，连结 $A C$ ．点P在线段 $A C$ 上，且 $A P = 2 P C$ ．函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点P．当点C在线段 $O B$ 上运动时，k的取值范围是（）

A、 $0 < k \leq 2$ B、 $\frac{2}{3} \leq k \leq 3$ C、 $\frac{2}{3} \leq k \leq 2$ D、 $\frac{8}{3} \leq k \leq 4$

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3. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别为(0，3)、(3，0)。∠ACB=90°，AC=2BC，函数y= $\frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、9 C、 $\frac{27}{8}$ D、 $\frac{27}{4}$

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4. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是函数y= $\frac{2}{x}$ (x>0)图像上的一点，过点P作x轴的垂线交函数y=- $\frac{4}{x}$ (x>0)的图像于点A，过点A作y轴的垂线交PO的延长线于点B。若点P从左向右运动，则△ABP的面积（）

A、逐渐变大 B、逐渐变小 C、保持不变，且面积为9 D、保持不变，且面积为18

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5. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象和 $△$ ABC都在第一象限， $A B = A C = \frac{5}{2}$ ，BC∥x轴，且BC =4，点A的坐标为(3，5)．若将 $△$ ABC向下平移m(m>0)个单位，A、C两点的对应点同时落在函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象上，则k的值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{45}{4}$

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6. 如图，在平面直角坐标系中，线段AC的端点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点C在第一象限，函数y＝ $\frac{2}{x}$ （x＞0）的图象交边AC于点B ． D为x轴上一点，连结CD、BD ．若BC＝2AB ，则△BCD的面积为（）

A、4 B、2 C、1 D、0.5

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7. 如图，在平面直角坐标系，等腰直角 $△ A B C$ 的顶点A、B均在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，点C在y轴正半轴上， $∠ A C B = 90 °$ ，若点A的横坐标为 $- 2$ ，点B的纵坐标为1，则k的值为（　　）

A、1 B、2 C、4 D、6

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8. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 $O A C B$ 的顶点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（0，1）、（3，3）．点P在折线 $B O - O A$ 上，连结 $C P$ ，交函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点Q．若 $C Q = 2 P Q$ ，则k的取值范围是（）

A、 $1 \leq k \leq \frac{5}{3}$ B、 $1 \leq k \leq 2$ C、 $\frac{5}{3} \leq k \leq 3$ D、 $1 \leq k \leq 3$

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二、填空题

9. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 4)$ 在抛物线 $y = a x^{2}$ 上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B ，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(0 ， 2)$ ，点B的坐标为 $(4 ， 2)$ ．若抛物线 $y = - \frac{3}{2} {(x - h)}^{2} + k$ （h、k为常数）与线段 $A B$ 交于C、D两点，且 $C D = \frac{1}{2} A B$ ，则k的值为．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2ax+ $\frac{8}{3}$ (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M。P为抛物线的顶点。若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值。

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12. 在平面直角坐标系中，A点坐标为（﹣1，4），B点坐标为（5，4）．已知抛物线y＝x²﹣2x+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是．

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13. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 经过 $A (2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点．若 $P (5 ， y_{1})$ ， $Q (m ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=a(x-2)²+3(a<0)的顶点为A，与抛物线y=ax²+3交于x轴上方的点B，过点B作垂直于y轴的直线，分别交两条抛物线于C，D两点(C，D两点均不与点B重合)，连结AD，AC，CO，OD，则四边形ACOD的面积为

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15. 如图，二次函数y= $- \frac{2}{3}$ x2+4x+c的图象的顶点为A，与y轴的交点为B，BC∥x轴，交抛物线于点C，则△ABC的面积是

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三、解答题

16. 小明要把一篇社会调查报告录入电脑，当他以100字/分钟的速度录入文字时，经过240分钟能完成录入。设他录入文字的速度为v字/分钟时，完成录入的时间为t分钟。求t与v之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)。

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四、综合题

17. 疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过 $a$ 天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数 $y$ （万人）与各自接种时间 $x$ （天）之间的关系如图所示．

(1)、直接写出乙地每天接种的人数及 $a$ 的值；

(2)、当甲地接种速度放缓后，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{4}{3} x - 2$ 的图象与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限内的图象相交于点 $B (m ， 2)$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：

供水时间x（小时）

0

2

4

6

8

箭尺读数y（厘米）

6

18

30

42

54

(1)、（探索发现）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x ．纵轴表示箭尺读数y ，描出以表格中数据为坐标的各点．

(2)、观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

(3)、（结论应用）应用上述发现的规律估算：
供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

(4)、如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

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20. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数 $y = \frac{k}{x}$ $(x > 0)$ 的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐示为 $(2 ， 4)$ ，过点A作 $A D ⊥ x$ 轴于点D，过点B作 $B C ⊥ x$ 轴于点C，连接 $O A$ ， $A B$ ．

(1)、求k的值．

(2)、若D为 $O C$ 中点，求四边形 $O A B C$ 的面积．

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21. 某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为 $5 L$ ．在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位： $\min$ ）之间的关系如图所示．

(1)、机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．

(2)、求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

(3)、直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．

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22. 已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从 $B$ 地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．

(1)、甲车的速度为千米/时，a的值为．

(2)、求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．

(3)、当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

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23. 已知A、B两地之间有一条长270千米的公路。甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止。甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示

(1)、乙车的速度为千米/时，a= ， b= 。

(2)、求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式

(3)、当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程

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24. 已知 $y$ 是 $x$ 的反比例函数，并且当 $x = 2$ 时， $y = 6$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、当 $x = 4$ 时，求 $y$ 的值．

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25. 甲、乙两车分别从 $A ， B$ 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到 $B$ 地，乙车立即以原速原路返回到 $B$ 地，甲、乙两车距 $B$ 地的路程 $y (k m)$ 与各自行驶的时间 $x (h)$ 之间的关系如图所示．

(1)、m= ， n=；

(2)、求乙车距 $B$ 地的路程 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、当甲车到达 $B$ 地时，求乙车距 $B$ 地的路程

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26. 如图，抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + k$ 与x轴相交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， - 3)$ ． $P$ 为抛物线上一点，横坐标为 $m$ ，且 $m > 0$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、当点 $P$ 位于 $x$ 轴下方时，求 $Δ A B P$ 面积的最大值；

(3)、设此抛物线在点 $C$ 与点 $P$ 之间部分（含点 $C$ 和点 $P$ ）最高点与最低点的纵坐标之差为 $h$ ．
①求 $h$ 关于 $m$ 的函数解析式，并写出自变量 $m$ 的取值范围；

②当 $h = 9$ 时，直接写出 $Δ B C P$ 的面积．

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27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (0 ， - \frac{7}{4})$ ，点 $B (1 ， \frac{1}{4})$ ．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，求二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的最大值和最小值；

(3)、点 $P$ 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $P Q / / x$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $- 2 m + 1$ ．已知点 $P$ 与点 $Q$ 不重合，且线段 $P Q$ 的长度随 $m$ 的增大而减小．
①求 $m$ 的取值范围；

②当 $P Q \leq 7$ 时，直接写出线段 $P Q$ 与二次函数 $y = x^{2} + b x + c (- 2 \leq x < \frac{1}{3})$ 的图象交点个数及对应的 $m$ 的取值范围．

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28. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m$ （m为常数）的顶点为A ．

(1)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，点A的坐标是，抛物线与y轴交点的坐标是．

(2)、若点A在第一象限，且 $O A = \sqrt{5}$ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．

(3)、当 $x \leq 2 m$ 时，若函数 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m$ 的最小值为3，求m的值．

(4)、分别过点 $P (4 ， 2)$ 、 $Q (4 ， 2 - 2 m)$ 作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N ．当抛物线 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 2 m$ 与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C ，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．

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29. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + \frac{3}{2}$ 与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为 $(3 ， 0)$ ，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作 $P Q ⊥ l$ 于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为 $- m + \frac{3}{2}$ ，以 $P Q$ ， $Q M$ 为边作矩形 $P Q M N$ ．

(1)、求b的值．

(2)、当点Q与点M重合时，求m的值．

(3)、当矩形 $P Q M N$ 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．

(4)、当抛物线在矩形 $P Q M N$ 内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

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30. 在平面直角坐标系中，函数 $y = x^{2} - 2 a x - 1$ （ $a$ 为常数）的图象与y轴交于点A．

(1)、求点A的坐标．

(2)、当此函数图象经过点 $(1 ， 2)$ 时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．

(3)、当 $x \leq 0$ 时，若函数 $y = x^{2} - 2 a x - 1$ （a为常数）的图象的最低点到直线 $y = 2 a$ 的距离为2，求a的值．

(4)、设 $a < 0$ ， $R t △ E F G$ 三个顶点的坐标分别为 $E (- 1 ， - 1)$ 、 $F (- 1 ， a - 1)$ 、 $G (0 ， a - 1)$ ．当函数 $y = x^{2} - 2 a x - 1$ （ $a$ 为常数）的图象与 $△ E F G$ 的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $P^{'}$ （ $P^{'}$ 与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $A^{'}$ ．若 $A A^{'} = 2 P P^{'}$ ，直接写出a的值．

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31. 已知函数y= ${\begin{cases} x^{2} + n x + n ， (x \geq n) \\ - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{n}{2} x + \frac{n}{2} ， (x < n) \end{cases}$ （n为常数）

(1)、当n=5，
①点P(4，b)在此函数图象上，求b的值

②求此函数的最大值

(2)、已知线段AB的两个端点坐标分别为4(2，2)、B(4，2)，当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围.

(3)、当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，求n的取值范围.

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供水时间x（小时）	0	2	4	6	8
箭尺读数y（厘米）	6	18	30	42	54