湖北省襄阳市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-08-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列各数中最大的是（）

A、-3 B、-2 C、0 D、1

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \div a^{3} = a$ B、 $a^{3} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a^{3})}^{3} = a^{6}$ D、 ${(a b^{3})}^{2} = a b^{6}$

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3. 如图， $a // b$ ， $A C ⊥ b$ ，重足为 $C$ ， $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ 1$ 等于（）

A、40° B、45° C、50° D、60°

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4. 若二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq - 3$ B、 $x \geq 3$ C、 $x \leq - 3$ D、 $x > - 3$

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5. 如图所示的几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为 $x$ ，下面所列方程正确的是（）

A、 $5000 {(1 + x)}^{2} = 4050$ B、 $4050 {(1 + x)}^{2} = 5000$ C、 $5000 {(1 - x)}^{2} = 4050$ D、 $4050 {(1 - x)}^{2} = 5000$

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7. 正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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8. 不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是（）

A、摸出的2个球中至少有1个红球 B、摸出的2个球都是白球 C、摸出的2个球中1个红球、1个白球 D、摸出的2个球都是红球

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9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.间水深几何.”（丈、尺是长度单位，1丈 $= 10$ 尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（）

A、10尺 B、11尺 C、12尺 D、13尺

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10. 一次函数 $y = a x + b$ 的图象如图所示，则二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 据统计，2021年“五·一”劳动节小长假期间，襄阳市约接待游客2270000人次.数字2270000用科学记数法表示为.

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 2 \geq 4 x - 1 \\ 2 x > 1 - x \end{array}$ 的解集是.

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13. 中国象棋文化历史久远.在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“－－－”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是.

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14. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与它距离喷头的水平距离 $x$ （单位： $m$ ）之间满足函数关系式 $y = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ ，喷出水珠的最大高度是 $m$ .

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15. 点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，若 $∠ B O C = 110 °$ ，则 $∠ B A C$ 为.

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，点 $F$ 在 $C B$ 的延长线上， $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 交 $B D$ 于点 $G$ ， $\tan ∠ B A E = \frac{1}{2}$ ， $B F = 2$ ，则 $F G =$ .

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} \div (x - \frac{1}{x})$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ .

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18. 如图，建筑物 $B C$ 上有一旗杆 $A B$ ，从与 $B C$ 相距 $20 m$ 的 $D$ 处观测旗杆项部 $A$ 的仰角为52°，观测旗杆底部 $B$ 的仰角为45°，求旗杆 $A B$ 的高度（结果保留小数点后一位.参考数据： $\sin 52 ° \approx 0.79$ ， $\cos 52 ° \approx 0.62$ ， $\tan 52 ° \approx 1.28$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）.

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19. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛.为了解竞赛成绩，抽样调查了七，八年级部分学生的分数，过程如下：

（ 1 ）收集数据从该校七.八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：

81 83 84 85 86 87 87 88 89 90

92 92 93 95 95 95 99 99 100 100

（ 2 ）整理、描述数据按如下分段整理描述样本数据：

分数 $x$

人数

年级

$80 \leq x < 85$

$85 \leq x < 90$

$90 \leq x < 95$

$95 \leq x \leq 100$

七年级

八年级

$a$

（ 3 ）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：

年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	91	89	97	40.9
八年级	91	$b$	$c$	33.2

根据以上提供的信息，解答下列问题：

①填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”）：

③从样本数据分析来看，分数较整齐的是年级（填“七”或“八”）；

④如果七年级共有400人参赛，则该年级约有人的分数不低于95分.

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20. 如图， $B D$ 为 $▱ A B C D$ 的对角线.

(1)、作对角线 $B D$ 的垂直平分线，分别交 $A D$ ， $B C$ ， $B D$ 于点 $E$ ， $F$ ， $O$ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、连接 $B E$ ， $D F$ .求证：四边形 $B E D F$ 为菱形.

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21. 小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数

y = \frac{1}{x + 1}

的图象与性质.其研究过程如下：

(1)、绘制函数图象

①列表：下表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $m =$ ▲ ；

$x$

…

-4

-3

-2

$- \frac{3}{2}$

$- \frac{4}{3}$

$- \frac{2}{3}$

$- \frac{1}{2}$

…

$y$

…

$- \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{2}$

-1

-3

$m$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

…

②描点：根据表中的数值描点 $(x ， y)$ ，请补充描出点 $(0 ， m)$ ；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整.

(2)、探究函数性质

判断下列说法是否正确。

①函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小：

②函数图象关于原点对称：

③函数图象与直线 $x = - 1$ 没有交点.

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22. 如图，直线 $A B$ 经过 $⊙ O$ 上的点 $C$ ，直线 $B O$ 与 $⊙ O$ 交于点 $F$ 和点 $D$ ， $O A$ 与 $⊙ O$ 交于点 $E$ ，与 $D C$ 交于点 $G$ ， $O A = O B$ ， $C A = C B$ .

(1)、求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $F C / / O A$ ， $C D = 6$ ，求图中阴影部分面积.

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23. 为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔.禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如下表所示：

	进价（元/斤）	售价（元/斤）
鲢鱼	$a$	5
草鱼	$b$	销量不超过200斤的部分	销量超过200斤的部分
		8	7

已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元.

(1)、求

a

，

b

的值；

(2)、老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼

x

斤（销售过程中损耗不计）.

①分别求出每天销售鲢鱼获利 $y_{1}$ （元），销售草鱼获利 $y_{2}$ （元）与 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低 $m$ 元，草鱼售价全部定为7元斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利 $W$ （元）的最小值不少于320元，求 $m$ 的最大值.

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24. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $\frac{A C}{B C} = m$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠得到 $△ A E D$ ，连接 $B E$ .

(1)、特例发现：如图1，当 $m = 1$ ， $A E$ 落在直线 $A C$ 上时，
①求证： $∠ D A C = ∠ E B C$ ；

②填空： $\frac{C D}{C E}$ 的值为 ▲ ；

(2)、类比探究：如图2，当 $m \neq 1$ ， $A E$ 与边 $B C$ 相交时，在 $A D$ 上取一点 $G$ ，使 $∠ A C G = ∠ B C E$ ， $C G$ 交 $A E$ 于点 $H$ .探究 $\frac{C G}{C E}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示），并写出探究过程；

(3)、拓展运用：在（2）的条件下，当 $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点时，若 $E B \cdot E H = 6$ ，求 $C G$ 的长.

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25. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别交于 $B$ ， $A$ ，顶点为 $P$ 的抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 过点 $A$ .

(1)、求出点 $A$ ， $B$ 的坐标及 $c$ 的值；

(2)、若函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 在 $3 \leq x \leq 4$ 时有最大值为 $a + 2$ ，求 $a$ 的值；

(3)、连接 $A P$ ，过点 $A$ 作 $A P$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $M$ .设 $△ B M P$ 的面积为 $S$ .
①直接写出 $S$ 关于 $a$ 的函数关系式及 $a$ 的取值范围；

②结合 $S$ 与 $a$ 的函数图象，直接写出 $S > \frac{1}{8}$ 时 $a$ 的取值范围.

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