湖北省黄石市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-08-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- \frac{1}{2}$ 的倒数是（）

A、﹣2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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2. 下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A、梯形 B、等边三角形 C、平行四边形 D、矩形

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3. 如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 计算 ${(- 5 x^{3} y)}^{2}$ 的结果是（　　）

A、25x⁵y² B、25x⁶y² C、－5x³y² D、-10x⁶y²

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5. 函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} + {(x - 2)}^{0}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq - 1$ B、 $x > 2$ C、 $x > - 1$ 且 $x \neq 2$ D、 $x \neq - 1$ 且 $x \neq 2$

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6. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展主题为《党在我心中》的绘画、书法、摄影等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、50，则这组数据的众数是（）

A、46 B、45 C、50 D、42

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7. 如图， $△ A B C$ 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中 $A$ 点的坐标是 $(- 1 ， 0)$ ，现将 $△ A B C$ 绕 $A$ 点按逆时针方向旋转 $90 °$ ，则旋转后点 $C$ 的坐标是（）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(- 3 ， 2)$

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8. 如图， $A$ 、 $B$ 是 $⊙ O$ 上的两点， $∠ A O B = 60 °$ ， $O F ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，则 $∠ B A F$ 等于（）

A、 $20 °$ B、 $22.5 °$ C、 $15 °$ D、 $12.5 °$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，按以下步骤作图：①以 $B$ 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 $B A$ 、 $B C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点；②分别以 $M$ 、 $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $P$ ；③作射线 $B P$ ，交边 $A C$ 于 $D$ 点.若 $A B = 10$ ， $B C = 6$ ，则线段 $C D$ 的长为（）

A、3 B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{16}{5}$

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$ ）的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表：

$x$

…

$- 1$

0

1

2

…

$y$

…

$m$

2

2

$n$

…

且当 $x = \frac{3}{2}$ 时，对应的函数值 $y < 0$ .有以下结论：① $a b c > 0$ ；② $m + n < - \frac{20}{3}$ ；③关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的负实数根在 $- \frac{1}{2}$ 和0之间；④ $P_{1} (t - 1 ， y_{1})$ 和 $P_{2} (t + 1 ， y_{2})$ 在该二次函数的图象上，则当实数 $t > \frac{1}{3}$ 时， $y_{1} > y_{2}$ .其中正确的结论是（）

A、①② B、②③ C、③④ D、②③④

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二、填空题

11. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - | \sqrt{3} - 2 | =$ .

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12. 分解因式： $a^{3} - 2 a^{2} + a =$ .

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13. 2021年5月21日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查情况，全国人口总数约为14.12亿人用科学记数法表示14.12亿人，可以表示为人.

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14. 分式方程 $\frac{1}{x - 2} + \frac{1 - x}{2 - x} = 3$ 的解是.

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15. 如图，直立于地面上的电线杆 $A B$ ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 $B C$ 、 $C D$ ，测得 $B C = 5$ 米， $C D = 4$ 米， $∠ B C D = 150 °$ ，在 $D$ 处测得电线杆顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，则电线杆 $A B$ 的高度约为米.（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果按四舍五入保留一位小数）

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16. 将直线 $y = - x + 1$ 向左平移 $m$ （ $m > 0$ ）个单位后，经过点(1，−3)，则 $m$ 的值为.

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17. 如图， $A$ 、 $B$ 两点在反比例函数 $y = - \frac{3}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象上， $A B$ 的延长线交 $x$ 轴于点 $C$ ，且 $A B = 2 B C$ ，则 $△ A O C$ 的面积是.

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上，且 $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 交 $B D$ 于 $M$ 点， $A F$ 交 $B D$ 于 $N$ 点.

(1)、若正方形的边长为2，则 $△ C E F$ 的周长是.

(2)、下列结论：① $B M^{2} + D N^{2} = M N^{2}$ ；②若 $F$ 是 $C D$ 的中点，则 $\tan ∠ A E F = 2$ ；③连接 $M F$ ，则 $△ A M F$ 为等腰直角三角形.其中正确结论的序号是（把你认为所有正确的都填上）.

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a}$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 1$ .

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20. 如图， $D$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上一点， $C F // A B$ ， $D F$ 交 $A C$ 于 $E$ 点， $D E = E F$ .

(1)、求证： $△ A D E$ ≌ $△ C F E$ ；

(2)、若 $A B = 5$ ， $C F = 4$ ，求 $B D$ 的长.

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} + m = 0$ 有实数根.

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若该方程的两个实数根分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 12$ ，求 $m$ 的值.

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22. 黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名.区域内矿冶文化旅游点有：A.铜绿山古铜矿遗址，B.黄石国家矿山公园，C.湖北水泥遗址博物馆，D.黄石园博园、矿博园.我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图.

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、全班报名参加研学旅游活动的学生共有人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是；

(2)、补全条形统计图；

(3)、该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率.

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23. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：

(1)、笼中鸡、兔各有多少只？

(2)、若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只.鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？

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24. 如图， $P A$ 、 $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 、 $B$ 是切点， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $O P$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ .

(1)、求证： $B C // O P$ ；

(2)、若 $E$ 恰好是 $O D$ 的中点，且四边形 $O A P B$ 的面积是 $16 \sqrt{3}$ ，求阴影部分的面积；

(3)、若 $\sin ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，求切线 $P A$ 的长.

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25. 抛物线 $y = a x^{2} - 2 b x + b$ （ $a \neq 0$ ）与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， - 3)$ ，且抛物线的对称轴为 $x = 3$ ， $D$ 为对称轴与 $x$ 轴的交点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在 $x$ 轴上方且平行于 $x$ 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $E$ 、 $F$ 两点，若 $△ D E F$ 是等腰直角三角形，求 $△ D E F$ 的面积；

(3)、若 $P (3 ， t)$ 是对称轴上一定点， $Q$ 是抛物线上的动点，求 $P Q$ 的最小值（用含 $t$ 的代数式表示）.

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$x$	…	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	$m$	2	2	$n$	…