广西北部湾经济开发区2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-08-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列各数是有理数的是（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt[3]{3}$ D、0

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2. 如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，小明从 $A$ 入口进入博物馆参观，参观后可从 $B$ ， $C$ ， $D$ 三个出口走出，他恰好从 $C$ 出口走出的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面.经测算，地球跟火星最远距离400000000千米，其中400000000用科学记数法表示为（）

A、 $4 \times 10^{9}$ B、 $40 \times 10^{7}$ C、 $4 \times 10^{8}$ D、 $0.4 \times 10^{9}$

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5. 如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（）

A、这一天最低温度是-4℃ B、这一天12时温度最高 C、最高温比最低温高8℃ D、0时至8时气温呈下降趋势

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $3 a^{2} - 2 a = a^{2}$

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7. 平面直角坐标系内与点 $P (3 ， 4)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(- 3 ， 4)$ B、 $(- 3 ， - 4)$ C、 $(3 ， - 4)$ D、 $(4 ， 3)$

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8. 如图， $⊙ O$ 的半径 $O B$ 为 $4$ ， $O C ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，则 $O D$ 的长是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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9. 一次函数y=2x+1的图象不经过（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问：人与车各多少？设有 $x$ 辆车，人数为 $y$ ，根据题意可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} y = 3 x - 2 \\ y = 2 x + 9 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = 3 (x - 2) \\ y = 2 x + 9 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y = 3 x - 2 \\ y = 2 x - 9 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = 3 (x - 2) \\ y = 2 x - 9 \end{array}$

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11. 如图，矩形纸片 $A B C D$ ， $A D ： A B = \sqrt{2} ： 1$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A D$ ， $B C$ 上，把纸片如图沿 $E F$ 折叠，点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ，连接 $A A^{'}$ 并延长交线段 $C D$ 于点 $G$ ，则 $\frac{E F}{A G}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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12. 定义一种运算： $a * b = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ，则不等式 $(2 x + 1) * (2 - x) > 3$ 的解集是（）

A、 $x > 1$ 或 $x < \frac{1}{3}$ B、 $- 1 < x < \frac{1}{3}$ C、 $x > 1$ 或 $x < - 1$ D、 $x > \frac{1}{3}$ 或 $x < - 1$

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二、填空题

13. 要使分式 $\frac{1}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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14. 分解因式： $a^{2} - 4 b^{2} =$ ．

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15. 如图，从楼顶 $A$ 处看楼下荷塘 $C$ 处的俯角为 $45 °$ ，看楼下荷塘 $D$ 处的俯角为 $60 °$ ，已知楼高 $A B$ 为 $30$ 米，则荷塘的宽 $C D$ 为米.（结果保留根号）

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16. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）.小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是.

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17. 如图，从一块边长为2， $∠ A = 120 °$ 的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以 $A$ 为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与 $B C$ ， $C D$ 分别相切于点 $E$ ， $F$ ，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是.

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18. 如图，已知点 $A (3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，两点 $C (- 3 ， 9)$ ， $D (2 ， 4)$ 在抛物线 $y = x^{2}$ 上，向左或向右平移抛物线后， $C$ ， $D$ 的对应点分别为 $C^{'}$ ， $D^{'}$ ，当四边形 $A B C^{'} D^{'}$ 的周长最小时，抛物线的解析式为.

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三、解答题

19. 计算： $2^{3} \times (- \frac{1}{2} + 1) \div (1 - 3)$ .

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20. 解分式方程： $\frac{x}{x + 1} = \frac{x}{3 x + 3} + 1$ .

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ B = ∠ D$ ，连接 $A C$ .

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ C D A$ ；

(2)、尺规作图：过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $E$ （不要求写作法，保留作图痕迹）；

(3)、在（2）的条件下，已知四边形 $A B C D$ 的面积为 $20$ ， $A B = 5$ ，求 $C E$ 的长.

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22. 某水果公司以10元/

kg

的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量

5 kg

，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：

kg

）如下：

4.7··4.8·4.6··4.5··4.8··4.9··4.8··4.7··4.8··4.7

4.8··4.9··4.7··4.8··4.5·4.7··4.7··4.9··4.7··5.0

整理数据：							分析数据：
质量（ $kg$ ）	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	5.0	平均数	众数	中位数
数量（箱）	2	1	7	$a$	3	1	4.75	$b$	$c$

(1)、直接写出上述表格中

a

，

b

，

c

的值；

(2)、平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这

2000

箱荔枝共损坏了多少千克？

(3)、根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本？（结果保留一位小数）

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23.

(1)、（阅读理解）如图1， $l_{1} // l_{2}$ ， $△ A B C$ 的面积与 $△ D B C$ 的面积相等吗？为什么？

(2)、（类比探究）问题①，如图2，在正方形 $A B C D$ 的右侧作等腰 $△ C D E$ ， $C E = D E$ ， $A D = 4$ ，连接 $A E$ ，求 $△ A D E$ 的面积.

解：过点 $E$ 作 $E F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ .

请将余下的求解步骤补充完整.

(3)、（拓展应用）问题②，如图3，在正方形 $A B C D$ 的右侧作正方形 $C E F G$ ，点 $B$ ， $C$ ， $E$ 在同一直线上， $A D = 4$ ，连接 $B D$ ， $B F$ ， $D F$ ，直接写出 $△ B D F$ 的面积.

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24. 2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 $x$ 轴，过跳台终点 $A$ 作水平线的垂线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系.图中的抛物线 $C_{1} ： y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{7}{6} x + 1$ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 $O$ 正上方 $4$ 米处的 $A$ 点滑出，滑出后沿一段抛物线 $C_{2} ： y = - \frac{1}{8} x^{2} + b x + c$ 运动.

(1)、当运动员运动到离 $A$ 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线 $C_{2}$ 的函数解析式（不要求写出自变量 $x$ 的取值范围）；

(2)、在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？

(3)、当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求 $b$ 的取值范围.

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25. 如图①，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $B C = 14$ ， $A D = 8$ ， $B D = 6$ 点 $E$ 是 $A D$ 上一动点（不与点 $A$ ， $D$ 重合），在 $△ A D C$ 内作矩形 $E F G H$ ，点 $F$ 在 $D C$ 上，点 $G$ ， $H$ 在 $A C$ 上，设 $D E = x$ ，连接 $B E$ .

(1)、当矩形 $E F G H$ 是正方形时，直接写出 $E F$ 的长；

(2)、设 $△ A B E$ 的面积为 $S_{1}$ ，矩形 $E F G H$ 的面积为 $S_{2}$ ，令 $y = \frac{S_{1}}{S_{2}}$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式（不要求写出自变量 $x$ 的取值范围）；

(3)、如图②，点 $P (a ， b)$ 是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点 $P$ 的直线 $l$ 分别与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ O M N$ 面积的最小值，并说明理由.

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26. 如图，已知 $A D$ ， $E F$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D = 6 \sqrt{2}$ ， $⊙ O$ 与 $▱ O A B C$ 的边 $A B$ ， $O C$ 分别交于点 $E$ ， $M$ ，连接 $C D$ 并延长，与 $A F$ 的延长线交于点 $G$ ， $∠ A F E = ∠ O C D$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $G F = 1$ ，求 $\cos ∠ A E F$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $∠ A B C$ 的平分线 $B H$ 交 $CO$ 于点 $H$ ，连接 $A H$ 交 $⊙ O$ 于点 $N$ ，求 $\frac{A B}{N H}$ 的值.

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