吉林省长春市绿园区2020-2021学年七年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-08-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $x = 1$ 是 $ax + 2 x = 3$ 方程的解，则 $a$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、-3 D、3

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2. 把方程 $4 x - y = 3$ 改写成用含 $x$ 的代数式表示 $y$ 的形式，正确的是（）

A、 $y = 4 x - 3$ B、 $y = 4 x + 3$ C、 $x = \frac{y + 3}{4}$ D、 $x = \frac{3 - y}{4}$

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3. 不等式 $x > \frac{3}{2}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列选项中的图形，有稳定性的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 学校购买一种正多边形形状的瓷砖来铺满教室的地面，所购买的瓷砖形状不可能是（）

A、等边三角形 B、正五边形 C、正六边形 D、正方形

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6. 现有两根长度分别 $3 cm$ 和 $7 cm$ 的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（）

A、 $4 cm$ B、 $6 cm$ C、 $10 cm$ D、 $13 cm$

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7. 如图， $△ A B C$ 沿射线 $B C$ 方向平移到 $△ D E F$ （点E在线段 $B C$ 上），如果 $B C = 8 cm$ ， $E C = 5 cm$ ，那么平移距离为（）

A、3cm B、5cm C、8cm D、13cm

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8. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $△ A D E$ ，且点 $D$ 恰好在 $A C$ 上， $∠ B A E = ∠ C D E = 136 °$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $24 °$ B、 $26 °$ C、 $30 °$ D、 $36 °$

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二、填空题

9. 如果 $3 a - 1 = 2,$ 那么 $6 a =$ ．

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10. 已知 $x$ ， $y$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 4 \\ x + 2 y = 5 \end{array}$ ，则x+y= ．

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11. 若x＜y ，试比较大小2x﹣62y﹣6（用“＞”、“＜”、“＝”填空）．

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12. 如图， $∠ 1 = 115 °$ ， $∠ A = 50 °$ ，那么 $∠ B =$ ．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ ≌四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则 $∠ A$ 的大小是．

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14. 如图，长方形 $A B C D$ 沿 $O G$ 折叠后，点 $C$ 、 $D$ 分别落在点 $C^{'}$ 、 $D^{'}$ 处，若 $∠ A O D^{'} = 70 °$ ，则 $∠ D O G$ 的度数为°．

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三、解答题

15. $\frac{x - 1}{3} = 1 - \frac{2 x + 1}{6}$

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16. 马小虎在解不等式

\frac{1 + x}{3} > \frac{2 x - 1}{5}

的过程中出现了错误，解答过程如下：

解不等式： $\frac{1 + x}{3} > \frac{2 x - 1}{5}$ ．

解：去分母，得 $5 (1 + x) > 3 (2 x - 1)$ ．（第一步）

去括号，得 $5 + 5 x > 6 x - 3$ ．（第二步）

移项，得 $5 x + 6 x > - 3 + 5$ ．（第三步）

合并同类项，得 $11 x > 2$ ．（第四步）

两边同时除以11，得 $x > \frac{2}{11}$ ．（第五步）

(1)、马小虎的解答过程是从第步开始出现错误的．

(2)、请写出此题正确的解答过程．

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17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 1 < 7 ① \\ \frac{3 x - 1}{2} ⩾ x + 1 ② \end{array}$ 并在数轴上表示出不等式组的解集

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18. 如图，在 $4 \times 5$ 的网格中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均为格点（最小正方形的顶点）．在图①、图②中分别画一个与 $△ A B C$ 成轴对称的三角形，所画的两个三角形的顶点均在格点上且两个三角形的位置不同．

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19. 一个多边形的内角和与外角和的度数之和为 $1260 °$ ，求这个多边形的边数．

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20. 如图，将 $△ A B C$ 以点 $C$ 为旋转中心，顺时针旋转 $180 °$ ，得到 $△ D E C$ ，过点 $A$ 作 $A F // B E$ ，交 $D E$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $∠ B = ∠ F$ ．

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21. 某校体育队到体育用品店购买一批篮球和足球，已知买2个篮球和6个足球共需480元；买3个篮球和4个足球共需470元．

(1)、求一个篮球和一个足球的售价各是多少元；

(2)、结算时，校体育队发现一个篮球商家可以获利25%，则一个篮球的进价是元．

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22. 先阅读下列解题过程，然后解答问题．
解方程： $| x - 5 | = 2$ ．

解：当 $x - 5 \geq 0$ 时，原方程可化为 $x - 5 = 2$ ，解得 $x = 7$ ；

当 $x - 5 < 0$ 时，原方程可化为 $x - 5 = - 2$ ，解得 $x = 3$ ．

所以原方程的解是 $x = 7$ 或 $x = 3$ ．

(1)、解方程： $| 2 x + 1 | = 7$ ．

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $| x + 3 | = m - 1$ ．
①若方程无解，则 $m$ 的取值范围是；

②若方程只有一个解，则 $m$ 的值为；

③若方程有两个解，则 $m$ 的取值范围是．

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23. （基础知识）

(1)、古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales ，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于 $180 °$ ”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
已知：如图，在 $△ A B C$ 中，

求证： $∠ A + ∠ B + ∠ B C A = 180 °$ ．

证明：延长线段 $B C$ 至点 $F$ ，并过点 $C$ 作 $C E / / A B$ ．

∵ $C E / / A B$ （已作），

∴    ▲   $= ∠ 1$ （两直线平行，内错角相等），

    ▲   $= ∠ 2$ （两直线平行，同位角相等）．

∵    ▲   （平角的定义），

∴ $∠ A C B + ∠ A + ∠ B = 180 °$ （等量代换）．

(2)、（实践运用）如图1，线段 $A D$ 、 $B C$ 相交于点 $O$ ，连结 $A B$ 、 $C D$ ，试证明： $∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$ ．
证明：

(3)、（变化拓展）

①如图2， $A P$ 、 $C P$ 分别平分 $∠ B A D$ 、 $∠ B C D$ ，若 $∠ A B C = 36 °$ ， $∠ A D C = 16 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为 $°$ ；

②如图3，直线 $A P$ 平分 $∠ F A D$ ， $C P$ 平分 $∠ B C E$ ，若 $∠ A B C = 36 °$ ， $∠ A D C = 16 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为 $°$ ．

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24. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 10 cm$ ， $B C = 8 cm$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A$ → $B$ → $C$ → $D$ 运动，到点 $D$ 停止；点 $P$ 以每秒 $1 cm$ 的速度运动6秒，之后以每秒 $2 cm$ 的速度运动，设点 $P$ 运动的时间是 $x$ （秒），点 $P$ 运动的路程为 $y (cm)$ ， $△ A P D$ 的面积是 $S ({cm}^{2})$ ．

(1)、点 $P$ 共运动秒；

(2)、当 $x = 7$ 时，求 $y$ 的值；

(3)、用含 $x$ 的代数式表示 $y$ ；

(4)、当 $△ A P D$ 的面积 $S$ 是长方形 $A B C D$ 面积的 $\frac{1}{4}$ 时，直接写出 $x$ 的值

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