山西省运城市盐湖区2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-08-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 方程 $x^{2} = x$ 的解是（）

A、 $x = 1$ B、 $x = 0$ C、 $x_{1} = 1 ， x_{2} = 0$ D、没有实数根

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2. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（）

A、对角线垂直 B、对角线互相平分 C、四个角都是直角 D、对角线相等

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3. 如图所示的几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 根据下表

$x$	$- 7$	$- 6$	$- 5$	······	$1$	$2$	$3$
$x^{2} + 4 x + c$	$12$	$3$	$- 4$	······	$- 4$	$3$	$12$

确定关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 4 x + c = 7$ 的解的取值范围是（）

A、

- 7 < x < - 6

或

1 < x < 2

B、

- 6 < x < - 5

或

1 < x < 2

C、

- 7 < x < - 6

或

2 < x < 3

D、

- 6 < x < - 5

或

2 < x < 3

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5. 在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列说法正确的是（）

A、两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 B、当 $a - b + c = 0$ 时，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有一根为 $- 1$ C、若点P是线段 $A B$ 的黄金分割点，则 $P A = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} A B$ D、方程 $4 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根

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7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6），B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为 $\frac{1}{3}$ ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）

A、（-1，2） B、（-9，18） C、（-9，18）或（9，-18） D、（-1，2）或（1，-2）

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8. 如图，已知一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象交于 $M 、 N$ 两点，则不等式 $a x + b < \frac{k}{x}$ 解集为（）

A、 $x < - 1$ 或 $0 < x < 2$ B、 $x < - 1$ C、 $x > 2$ 或 $- 1 < x < 0$ D、 $x > 2$

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9. 将一副三角尺（在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{0}$ ， $∠ B = 60^{0}$ ，在 $R t Δ E D F$ 中， $∠ E D F = 90^{0}$ ， $∠ E = 45^{0}$ ）如图摆放，点 $D$ 为 $A B$ 的中点， $D E$ 交 $A C$ 于点P， $D F$ 经过点 $C$ ，将 $Δ E D F$ 绕点 $D$ 顺时针方向旋转 $α$ （ $0^{0} < α < 60^{0}$ ）， $D E^{'}$ 交 $A C$ 于点M， $D F^{'}$ 交 $B C$ 于点N，则 $\frac{P M}{C N}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ，E为 $A B$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折得到 $△ F D E$ ，延长 $E F$ 交 $B C$ 于G， $F H ⊥ B C$ ，垂足为H，连接 $B F 、 D G$ ．以下结论： $① F B$ 平分 $∠ E F H$ ； $② △ F H B \sim △ E A D$ ； $③ s i n ∠ E G B = \frac{4}{5}$ ； $④ F H = \frac{6}{5}$ 其中正确的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题

11. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 3) x^{2} - 2 x + a^{2} - 9 = 0$ 的常数项是 $0$ ，则 $a =$ .

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12. 已知一个正方形的对角线长为 $2 \sqrt{3}$ ，则此正方形的面积为．

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13. 张师傅按 $1 ： 1$ 的比例画出某直三棱柱零件的三视图，如图所示，已知 $△ E F G$ 中， $E F = 12 c m ， E G = 18 c m$ ， $∠ E F G = 45 °$ ，则 $A B$ 的长为 $c m$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D 、 E$ 分别是 $A B 、 A C$ 的中点，点F是 $D E$ 上一点， $∠ A F C = 90 °$ ， $B C = 16 c m$ ， $A C = 10 c m$ ，则 $D F =$ $c m$ ．

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15. 如图，反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上有一动点A，连接 $A O$ 并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点 $C$ ，满足 $A C = B C$ ，当点A运动时，点C始终在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上运动， $t a n ∠ C B A = 3$ ，则 $k =$ ．

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三、解答题

16.

(1)、解方程： $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ ；

(2)、计算： $4 s i n 45 ° + 3 t a n 30 ° - \sqrt{8}$ ．

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17. 随着网络技术的发展，人们的支付方式也发生了很大改变，不带现金也能完成支付，比如使用银行卡、微信、支付宝等．在一次购物中小明和小亮都想从银行卡、微信、支付宝三种支付方式中选择一种．使用树状图或列表格的方式，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．(画树状图或列表格时将微信记为A支付宝记为B．银行卡记为C)

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18. 阅读材料：各类方程的解法
求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解，求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想“转化”，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．

例如：解方程 $\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{x + 5} = 1$

解：移项，得 $\sqrt{2 x - 4} = 1 + \sqrt{x + 5}$

两边平方，得 $2 x - 4 = 1 + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5$

即 $x - 10 = 2 \sqrt{x + 5}$

两边再平方，得 $x^{2} - 20 x + 100 = 4 (x + 5)$

即 $x^{2} - 24 x + 80 = 0$

解这个方程得： $x_{1} = 4 ， x_{2} = 20$

检验：当 $x = 4$ 时，原方程左边 $= 2 - 3 = - 1$ ，右边 $= 1$

$∴ x = 4$ 不是原方程的根；

当 $x = 20$ 时，原方程左边 $= 6 - 5 = 1$ ，右边 $= 1$

$∴ x = 20$ 原方程的根

$∴$ 原方程的根是 $x = 20$ ．

(1)、请仿照上述解法，求出方程 $x - \sqrt{2 x + 5} = - 1$ 的解；

(2)、如图已知矩形草坪 $A B C D$ 的长 $A D = 16 m$ ，宽 $A B = 6 m$ ，小华把一根长为 $20 m$ 的绳子的一端固定在点B，从草坪边沿 $B A 、 A D$ 走到点P处，把长绳 $P B$ 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿 $P D ， D C$ 走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C，则 $A P =$ m．

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19. 如图， $A C$ 是 $▱ A B C D$ 的对角线，在 $A D$ 边上取一点F，连接 $B F$ 交于 $A C$ 点E，并延长 $B F$ 交 $C D$ 的延长线于点G．

(1)、若 $∠ A B F = ∠ A C F$ ，求证： $C E^{2} = E F \cdot E G$ ；

(2)、若 $D G = D C ， B E = 6$ ，求 $E F$ 的长．

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20. 在大家的期盼中，我区某农贸市场于2009年12月9日盛大开业，王阿姨以每斤 $2$ 元的价格购进山药若干斤，然后以每斤 $4$ 元的价格出售，每天可售出 $100$ 斤.通过调查发现，这种山药每斤的售价每降低 $1$ 元，每天可多售出 $200$ 斤.为了保证每天至少售出 $260$ 斤，王阿姨决定降价销售．

(1)、若将这种山药每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤(用含x的代数式表示)；

(2)、销售这种山药要想每天盈利 $300$ 元，王阿姨需将每斤的售价降低多少元？

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21. 关公，作为运城乃至山西的一张名片，吸引了来自世界各地的游客，在运城西南 $13$ 公里的常平村(关公故乡)南山上，有一尊巨型关公铜像，高 $61$ 米，象征关公享年 $61$ 岁，底座的高度也有一定寓意．有一位游客，对此产生了兴趣，想测量它的高度，由于游客无法直接到达铜像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量它的高度.如图， $B C$ 代表底座的高，坡顶A与底座底部C处在同一水平面上，该游客在斜坡底P处测得该底座顶端B的仰角为 $45 °$ ，然后他沿着坡度为 $1 ： 2.4$ 的斜坡 $A P$ 攀行了 $26$ 米，在坡顶A处又测得该底座顶端B的仰角为 $76 °$ ．求：

(1)、坡顶A到地面 $P O$ 的距离；

(2)、求底座 $B C$ 的高度(结果精确到 $1$ 米)．
(参考数据： $s i n 76 ° \approx 0.97 ， c o s 76 ° \approx 0.24$ ， $t a n 76 ° \approx 4.00)$

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22. 综合与实践
在数学活动课上，老师给出如下问题，让同学们展开探究活动：

[问题情境]

如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C = a$ ，点D为 $A B$ 上一点 $(0 < A D < \frac{1}{2} A B)$ ，将线段 $C D$ 绕点C逆时针旋转 $90 °$ ，得到的对应线段为 $C E$ ，过点E作 $E F / / A B$ ，交 $B C$ 于点F，请你根据上述条件，提出恰当的数学问题并解答．

　　　

[解决问题]

下面是学习小组提出的三个问题，请你解答这些问题：

(1)、“兴趣”组提出的问题是：求证： $A D = E F$ ；

(2)、“实践”小组提出的问题是：如图②，若将 $△ A C D$ 沿 $A B$ 的垂直平分线对折，得到 $△ B C G$ ，连接 $E G$ ，则线段 $E G$ 与 $E F$ 有怎样的数量关系？请说明理由；

(3)、“奋进”小组在“实践”小组探究的基础上，提出了如下问题：延长 $E F$ 与 $A C$ 交于点H，连接 $H D 、 F G$ ，求证：四边形 $D G F H$ 是矩形．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B， $\frac{A B}{O B}$ = $\frac{3}{4}$ ，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象的一支分别交AO、AB于点C、D.延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E.已知点D的纵坐标为 $\frac{3}{2}$ .

(1)、求反比例函数的解析式及点E的坐标；

(2)、连接BC，求S_△_CEB.

(3)、若在x轴上的有两点M（m，0）N（-m，0）.
①以E、M、C、N为顶点的四边形能否为矩形？如果能求出m的值，如果不能说明理由.

②若将直线OA绕O点旋转，仍与y= $\frac{k}{x}$ 交于C、E，能否构成以E、M、C、N为顶点的四边形为菱形，如果能求出m的值，如果不能说明理由.

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