山西省晋中市灵石县2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-08-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 解一元二次方程x²＋4x－1＝0，配方正确的是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 5$

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2. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与一次函数 $y = k x - k (k \neq 0)$ 的图象可能是下面的（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（）

A、100° B、110° C、115° D、120°

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4. 设A(﹣2，y₁)，B(1，y₂)，C(2，y₃)是抛物线 $y = - {(x + 1)}^{2} + 2$ 上的三点，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系为（）

A、y₁＞y₂＞y₃ B、y₁＞y₃＞y₂ C、y₃＞y₂＞y₁ D、y₃＞y₁＞y₂

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5. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，DF∥AG，若 $\frac{A D}{D B} = \frac{1}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{D E}{D F} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}} = \frac{1}{4}$ D、 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{四边形 D E C F}} = \frac{1}{4}$

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6. 将抛物线y＝x²﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）

A、y＝x²+3x+6 B、y＝x²+3x C、y＝x²﹣5x+10 D、y＝x²﹣5x+4

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7. 如图，在山坡上种树，坡度 $i = 1 ： 2 ， A B = 5 m$ ，则相邻两树的水平距离 $A C$ 为（）

A、 $5 m$ B、 $\sqrt{5} m$ C、 $2 \sqrt{5} m$ D、 $10 m$

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8. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）

A、 $y = \frac{26}{675} x^{2}$ B、 $y = - \frac{26}{675} x^{2}$ C、 $y = \frac{13}{1350} x^{2}$ D、 $y = - \frac{13}{1350} x^{2}$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ C A B = 30 °$ ， $B C = 2$ ，以 $A B$ 的中点为圆心， $O A$ 的长为半径作圆交 $A C$ 于点D，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $2 \sqrt{3} - π$ B、 $4 \sqrt{3} - \frac{π}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4} - \frac{π}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4} + \frac{π}{2}$

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10.
如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b²＜8a
④ $\frac{1}{3}$ ＜a＜ $\frac{2}{3}$
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）

A、①③ B、①③④ C、②④⑤ D、①③④⑤

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二、填空题

11. 计算 $\cos 60 ° + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 45 ° + \tan 60 ° \cdot \cos 30 ° =$ ．

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12. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为.

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13. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心在y轴的左侧将 $△ O A B$ 缩小得到 $△ O A^{'} B^{'}$ ，若 $△ O A B$ 与 $△ O A^{'} B^{'}$ 的相似比为2：1，则点 $B (3 ， - 2)$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标为．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4，0)，点D的坐标为(-1，4)，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过点C，则k的值为.

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15. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为 $P$ ，羽毛球飞行的水平距离 $s$ （米）与其距地面高度 $h$ （米）之间的关系式为 $h = - \frac{1}{12} s^{2} + \frac{2}{3} s + \frac{3}{2}$ ，如图，已知球网 $A B$ 距原点 $5$ 米，乙（用线段 $C D$ 表示）扣球的最大高度为 $\frac{9}{4}$ 米，设乙的起跳点 $C$ 的横坐标为 $m$ ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 $m$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 解方程：

(1)、 ${(2 x - 3)}^{2} - 144 = 0$ ；

(2)、 $16 x^{2} + 8 x = 3$ ．

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17. 学校组织首届“数学文化节”活动，旨在引导同学们感受数学魅力，提升数学素养，活动中，九年级全体同学参加了“趣味数学知识竞赛”．活动中获得“数学之星”称号的小颖得到了 $A ， B ， C ， D$ 四枚纪念章，（除头像外完全相同），如图所示，四枚纪念章上分别印有四位数学家的头像，她将纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给妹妹，求小颖送给妹妹的两枚纪念章中恰好有一枚印有华罗庚头像的概率．（提示：答题时可用序号 $A ， B ， C ， D$ 表示相应的纪念章）

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18. 借鉴我们已有研究函数的经验，探索函数

y = | x^{2} - 2 x - 3 | - 2

的图像与性质，研究过程如下，请补充完整．

(1)、自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

$x$	$\dots$	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	10	m	-2	1	n	1	-2	3	10	$\dots$

其中，m= ， n=；

(2)、根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；

(3)、观察函数图象：

①写出函数的一条图像性质：；

②当方程 $| x^{2} - 2 x - 3 | = b + 2$ 有且仅有两个不相等的实数根，根据函数图象直接写出b的取值范围为．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于C、D两点.已知点C的坐标是（6，-1），D（n，3）.

(1)、求m的值和点D的坐标.

(2)、求 $tan ∠ B A O$ 的值.

(3)、根据图象直接写出：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？

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20. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)

(1)、任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是m.

(2)、任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆GH的高度.
(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)

(3)、任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).

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21. 已知：如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B ⊥ A C$ ， $B C$ 交 $⊙ O$ 于D，E是 $A C$ 的中点， $E D$ 与 $A B$ 的延长线相交于点F．

(1)、求证： $D E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $D F^{2} = B F \cdot A F$ ．

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22. 某超市销售一种文具，进价为 5（元/件），售价为6（元/件）时，当天的销售量为100件，在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件，设当天销售单价统一为 $x$ （元/件）（ $x \geq 6$ ，且 $x$ 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为 $y$ 元.

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

(2)、要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价的范围；

(3)、若每件文具的利润不超过60%，要使当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润.

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与x轴交于 $A (1 ， 0)$ 、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线 $x=2$ ，交抛物线于点D，交x轴于点E．
　　　　　　　　

(1)、求抛物线的函数表达式及点B、点D的坐标；

(2)、抛物线对称轴上的一动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度向上运动，连接 $O P$ ， $B P$ ，设运动时间为 $t$ 秒（ $t > 0$ ），在点P的运动过程中，请求出：当 $t$ 为何值时， $∠ O P B = 90^{\circ}$ ？

(3)、若点Q在抛物线上B、C两点之间运动（点Q不与点B、C重合），在运动过程中，设点Q的横坐标为t， $△ Q B C$ 的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求t为何值时S有最大值，最大值是多少？

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