内蒙古自治区包头市2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-08-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列函数属于二次函数的是

A、 $y = - 3 x^{2} + 1$ B、 $y = \frac{x}{2}$ C、 $y = \frac{2}{x}$ D、 $y = 2 x + 5$

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2. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）.

A、 $x^{2} - 2 x = 0$ B、 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ C、 $3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ D、 $2 x^{2} - 4 x + 3 = 0$

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3. 下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 我市组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点，且 $B C$ 平分 $∠ A B D$ ， $A D$ 分别与 $B C$ ， $O C$ 相交于点 $E$ ， $F$ ，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $O C ∥ B D$ B、 $A D ⊥ O C$ C、 $Δ C E F ≅ Δ B E D$ D、 $A F = F D$

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6. 函数 $y = - a x + a$ 与 $y = \frac{a}{x}$ （ $a \neq 0$ ）在同一坐标系中的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 $43$ ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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8. 如图，点A ， B ， C ， D在⊙O上，AB=AC ， ∠A=40°，CD∥AB ，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是(　　)

A、 $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 π}{3} - \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

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9. 如图，是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的一部分，在下列结论中：① $a b c > 0$ ；② $a - b + c > 0$ ；③ $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 有两个相等的实数根；④ $- 4 a < b < - 2 a$ ；其中正确的结论有（　　）

A、1个 B、2 个 C、3 个 D、4个

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10. 如图， $Δ O A_{1} B_{1}$ ， $Δ A_{1} A_{2} B_{2}$ 、 $Δ A_{2} A_{3} B_{3}$ ，…是分别以 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ ，…为直角顶点，一条直角边在 $x$ 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 $C_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $C_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ， $C_{3} (x_{3} ， y_{3})$ ，…均在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上.则 $y_{1} + y_{2} + \cdot \cdot \cdot y_{10}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、6 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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二、填空题

11. 不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是.

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12. 在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．

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13. 一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是.

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14. 如图，在△ABC中，∠BAC=75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转，得△AB'C' ，连接BB' ，若BB'∥AC' ，则∠BAC′ 的度数是.

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15. 如图，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - 3$ 交x轴于点A ，交y轴于点B ，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P与直线AB相切时，点P的横坐标是

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16. 如图，直线 $y = x + 1$ 与抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当 $Δ P A B$ 的周长最小时， $S_{Δ P A B} =$ ．

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x = 4$

(2)、 $2 (x - 3) = 3 x (x - 3)$

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18. 2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“.某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：

(1)、求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；

(2)、求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；

(3)、学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率.

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19. 如图，菱形ABCD的顶点A ， D在直线l上，∠BAD=60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′ ， B′C′交对角线AC于点M ， C′D′交直线l于点N ，连接MN ，当MN∥B′D′ 时，解答下列问题：

(1)、求证：△AB′M≌△AD′N；

(2)、求α的大小.

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2k + 1) x + k^{2} + 2k = 0$ 有两个实数根x₁ ， x₂.

(1)、求实数k的取值范围；

(2)、是否存在实数k使得 $x_{1} \cdot x_{2} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2} \geq 0$ 成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.

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21. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象分别交x轴、y轴于C，D两点，交反比例函数 $y = \frac{n}{x}$ 图象于A（ $\frac{3}{2}$ ，4），B（3，m）两点.

(1)、求直线CD的表达式；

(2)、点E是线段OD上一点，若 $S_{△ A E B} = \frac{15}{4}$ ，求E点的坐标；

(3)、请你根据图象直接写出不等式 $k x + b \leq \frac{n}{x}$ 的解集.

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22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O ，点D为⊙O上一点，且CD=CB ，连接DO并延长交CB的延长线于点E ，连接OC ．

(1)、判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若BE= $\sqrt{3}$ ，DE=3，求⊙O的半径及AC的长．

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23. 寒冬来临，豆丝飘香，豆丝是鄂州民间传统美食；某企业接到一批豆丝生产任务，约定这批豆丝的出厂价为每千克4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，新工人李明第1天生产100千克豆丝，由于不断熟练，以后每天都比前一天多生产20千克豆丝；设李明第x天（ $0 < x \leq 20$ ，且x为整数）生产y千克豆丝，解答下列问题：

(1)、求y与x的关系式，并求出李明第几天生产豆丝280千克？

(2)、设第x天生产的每千克豆丝的成本是p元，p与x之间满足如图所示的函数关系；若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）

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24. 如图，已知：抛物线 $y = a (x + 1) (x - 3)$ 交x轴于A ， C两点，交y轴于点B ，且OB=2CO.

(1)、求二次函数解析式；

(2)、在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N ，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

(3)、抛物线对称轴上是否存在点P ，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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