初中数学北师大版七年级上册第二次月考试卷A卷

试卷更新日期：2021-08-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列方程是一元一次方程的有（）
① $\frac{1}{x} - 2 = 7$ ；② $x = 4$ ；③ $3 x - y = 2$ ；④ $2 x^{2} - 4 x = 2 x^{2} + x - 3$ ；⑤ $x + \frac{1}{x} = - 3 x - 2 + \frac{1}{x}$ ；⑥ $\frac{2 x - 1}{3} = 2 x + 5$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 关于 $x$ 的一元一次方程 $2 x^{a - 2} + m = 4$ 的解为 $x = 1$ ，则 $a + m$ 的值为（）

A、9 B、8 C、5 D、4

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3. 下列说法中正确的是（）

A、延长线段AB和延长线段BA的含义是相同的 B、延长直线AB C、射线AB和射线BA是同一条射线 D、直线AB和直线BA是同一条直线

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4. 小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）.能解释这一现象的数学知识是（）

A、两点之间，线段最短 B、垂线段最短 C、三角形两边之和大于第三边 D、两点确定一条直线

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5. 已知线段 $A B = 4$ ，在直线AB上作线段BC ，使得 $B C = 2$ ．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（）

A、1 B、3 C、1或3 D、2或3

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6. $4$ 点 $10$ 分，时针与分针所夹的角为（）

A、 $55 °$ B、 $65 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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7. 如图，点 $O$ 在直线 $A B$ 上， $O C ⊥ O D$ ．若 $∠ A O C = 120 °$ ，则 $∠ B O D$ 的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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8. 解一元一次方程 $\frac{3 (x - 1)}{2} = 1 - \frac{x + 1}{3}$ 时，去分母正确的是（）

A、 $9 x - 9 = 1 - 2 x - 2$ B、 $3 x - 3 = 1 - 2 x - 2$ C、 $9 x - 9 = 6 - 2 x - 2$ D、 $9 x - 9 = 6 - 2 x + 2$

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9. 从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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10. 某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（）

A、7.6元 B、7.7元 C、7.8元 D、7.9元

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11. 已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为（　　）

A、28° B、112° C、28°或112° D、68°

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12. 根据图中给出的信息，下面所列方程正确的是（）

A、 $π \times {(\frac{8}{2})}^{2} x = π \times {(\frac{6}{2})}^{2} \times (x + 5)$ B、 $π \times {(\frac{8}{2})}^{2} x = π \times {(\frac{6}{2})}^{2} \times (x - 5)$ C、 $π \times 8^{2} x = π \times 6^{2} \times (x - 5)$ D、 $π \times 8^{2} x = π \times 6^{2} \times 5$

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二、填空题

13. 将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若 $∠ A O D = 108 °$ ，则 $∠ C O B =$ ．

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14. 如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是.

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15. 我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为．

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16. 若 $a b < 0$ ，且 $m = \frac{| a |}{a} + \frac{b}{| b |}$ ，则关于 $x$ 的一元一次方程 $(m - 3) x + 6 = 4$ 的解是．

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17. 根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是．

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18. 已知射线 $O A$ ，从 $O$ 点再引射线 $O B$ ， $O C$ ，使 $∠ A O B = 67 ° 3 1^{'}$ ， $∠ B O C = 48 ° 3 9^{'}$ ，则 $∠ A O C$ 的度数为.

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三、解答题

19. 解方程： $\frac{x - 3}{2} + \frac{x - 1}{3} = 4$ .

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20. 解方程： $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} - 1 = 0$

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21. 一个学生解方程 $\frac{x + a}{3} - \frac{x - 1}{6} = 1$ 时，去分母时，右边的1出现漏乘6，结果求出方程的解为 $x = 2$ ，求 $a$ 的值并正确的解出这个方程.

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22. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点在同一条直线上， $A B = 80 c m$ ， $B C = \frac{3}{4} A B$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，求 $B E$ 的长.

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23. 已知高铁的速度比动车的速度快50 km/h，小路同学从苏州去北京游玩，本打算乘坐动车，需要6h才能到达；由于得知开通了高铁，决定乘坐高铁，她发现乘坐高铁比乘坐动车节约72 min.求高铁的速度和苏州与北京之间的距离.

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24. 如图

(1)、如图，已知 $∠ A O B = 90 °$ ， $∠ B O C = 30 °$ ， $O M$ 平分 $∠ A O C$ ， $O N$ 平分 $∠ B O C$ ，求 $∠ M O N$ 的度数.

(2)、如果（1）中， $∠ A O B = α$ ，其他条件不变，求 $∠ M O N$ 的度数.

(3)、如果（1）中， $∠ A O B = α$ ， $∠ B O C = β$ ，其他条件不变，求 $∠ M O N$ 的度数.

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25. 据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间.
某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道.小王同学计算了各圈的长：

第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；

第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；

第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；

……

请问：

(1)、第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？

(2)、小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇.若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）

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26. （问题）用n边形的对角线把n边形分割成（n-2个三角形，共有多少种不同的分割方案 $(n \geq 4)$ ？
（探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有 $f (n)$ 种．

探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以， $f (4) = 2$ ．

探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：

第1类：如图③，用点 $A$ ， $E$ 与 $B$ 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 $f (4)$ 种不同的分割方案，所以，此类共有 $f (4)$ 种不同的分割方案．

第2类：如图④，用点 $A$ ， $E$ 与 $C$ 连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为 $\frac{1}{2} f (4)$ 种分割方案．

第3类：如图⑤，用点 $A$ ， $E$ 与 $D$ 连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．

所以， $f (5) = f (4) + \frac{1}{2} f (4) + f (4) = \frac{5}{2} \times f (4) = \frac{10}{4} \times f (4) = 5$ （种）

探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：

第1类：如图⑥，用 $A$ ， $F$ 与 $B$ 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有 $f (5)$ 种不同的分割方案，所以，此类共有 $f (5)$ 种不同的分割方案．

第2类：如图⑦，用 $A$ ， $F$ 与 $C$ 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 $f (4)$ 种不同的分割方案．所以，此类共有 $f (4)$ 种分割方案．

第3类：如图⑧，用 $A$ ， $F$ 与 $D$ 连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有 $f (4)$ 种不同的分割方案．所以，此类共有 $f (4)$ 种分割方案．

第4类：如图，用 $A$ ， $F$ 与 $E$ 连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有 $f (5)$ 种不同的分割方案．所以，此类共有 $f (5)$ 种分割方案．

所以， $f (6) = f (5) + f (4) + f (4) + f (5)$

$= f (5) + \frac{2}{5} f (5) + \frac{2}{5} f (5) + f (5) = \frac{14}{5} \times f (5) = 14$ （种）

探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则 $f (7)$ 与 $f (6)$ 的关系为 $f (7) = \frac{()}{6} \times f (6)$ ，共有种不同的分割方案．

……

（结论）用 $n$ 边形的对角线把 $n$ 边形分割成 $(n - 2)$ 个三角形，共有多少种不同的分割方案 $(n \geq 4)$ ？（直接写出 $f (n)$ 与 $f (n - 1)$ 之间的关系式，不写解答过程）

（应用）用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）

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