高中数学人教A版（2019）选修二第五章一元函数的导数及其应用

试卷更新日期：2021-08-18 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + 2 x^{2} - x$ ，若过点 $P (1 ， t)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{30})$ B、 $(0 ， \frac{1}{29})$ C、 $(0 ， \frac{1}{28})$ D、 $(0 ， \frac{1}{27})$

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2. 曲线 $f (x) = e^{x} \sin x + 2$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2$ B、 $y = 2 x$ C、 $y = x + 2$ D、 $y = - x + 2$

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3. 函数 $f (x) = ln x - 2 x$ 的递减区间是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ 和 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$ 和 $(0 ， \frac{1}{2})$

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4. 已知 $x = m$ 时，函数 $f (x) = x^{3} - 12 x$ 取得极大值，则 $m =$ （）

A、-4 B、-2 C、4 D、2

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5. 已知函数 $f (x) = a ln x + x^{2} - (a + 2) x$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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6. 若对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $a x - \ln (2 x) \geq 1$ 恒成立，则实数a的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 函数 $f (x) = a x^{2} - x \ln x$ 在 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 设偶函数 $f (x) (x \in R)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ ， $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，则使得 $f (x) < 0$ 成立的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 关于 $x$ 的方程 $x \sin x + \cos x - a = 0 (a \in R)$ 在 $(0 ， π)$ 上有2个解.则实数 $a$ 可以等于（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10. 给出定义：若函数 $f (x)$ 在 $D$ 上可导，即 $f^{'} (x)$ 存在，且导函数 $f^{'} (x)$ 在 $D$ 上也可导，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上存在二阶导函数，记 $f^{″} (x) = {(f^{'} (x))}^{'}$ ，若 $f^{″} (x) < 0$ 在 $D$ 上恒成立，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上为凸函数.以下四个函数在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是凸函数的是（）

A、 $f (x) = \sin x + \cos x$ B、 $f (x) = \ln x - 2 x$ C、 $f (x) = - x^{3} + 2 x - 1$ D、 $f (x) = x e^{x}$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) = 0$ B、 $a = 1$ 时，点 $(0 ， - 1)$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称中心 C、 $b < 0$ 时， $f (x)$ 在 $R$ 上存在减区间 D、 $b < 0$ 时，若 $f (x)$ 有且仅有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $2 x_{1} + x_{2} = - a$

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12. 如图是 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象，则下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， - 1]$ 上是增函数 B、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上是增函数，在区间 $[2 ， 4]$ 上是减函数 D、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，当 $x > 0$ 时 $f (x) = \ln x + 1 + e^{x - 1}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线方程为.

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14. 若函数f（x）=x²- $\frac{1}{2}$ x+1在其定义域内的一个子区间 $(a - 1 ， a + 1)$ 内存在极值，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = 1$ 时有极值10，那么 $a$ 、 $b$ 的值为.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ ， $g (x) = x^{2} - 2 m x$ ，若对任意 $x_{1} \in R$ ，存在 $x_{2} \in [1 ， 2]$ ，满足 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + 2$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $3 x + y + m = 0$ .
（Ⅰ）求实数 $a$ ， $m$ 的值；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最值.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 1.$

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 5 ， 4]$ 上的最大值与最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - a x$ 的图象在 $x = 2$ 处的切线与直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 平行.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{1}{3} (m - 2 x)$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上有两个不相等的实数根，求 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = x \ln x - x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} (1 - e^{x})$ .

(1)、若 $x \in [\frac{1}{e} ， e^{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若存在 $x_{0} \in (0 ， m]$ ，使得 $f (x_{0}) \leq g (m)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - a x^{2}$ ， $g (x) = e^{x} - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，是否存在 $x_{0} \in (0 ， 1)$ ，使得 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象在 $x = x_{0}$ 处的切线互相平行，若存在，请给予证明，若不存在，请说明理由

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + m \ln x + 8$ ，其中 $m > 0$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，是否存在实数 $a$ 使得 $f (x_{1}) \geq a x_{2}$ 恒成立，如果存在请求出实数 $a$ 的取值范围，如果不存在请说明理由．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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