高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程

试卷更新日期：2021-08-18 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到直线 $y = x + 1$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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2. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则（）

A、 $a = 2 b^{2}$ B、 $a = 2 b$ C、 $3 a^{2} = 4 b^{2}$ D、 $3 a = 4 b$

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3. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{\sqrt{3} y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{\sqrt{3} x^{2}}{3} - y^{2} = 1$

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线右支上一点， $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，直线 $P F_{2}$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，且 $\vec{F_{2} P} = \frac{2}{3} \vec{P Q}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）．

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

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5. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，抛物线 $C$ 上一点A满足 $| A F | = 5$ ，则以点A为圆心， $A F$ 为半径的圆被 $x$ 轴所截得的弦长为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{2}$ 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 $P$ ，若直线 $P F_{1}$ 恰好与圆 $F_{2}$ 相切于点 $P$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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7. 设B是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 $| PB | \leq 2 b$ ，则C的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ B、 $[\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(0, \frac{1}{2}]$

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8. 坐标原点 $O$ 且斜率为 $k (k < 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点.若点 $A (1 ， \frac{1}{2})$ ，则 $△ M A N$ 面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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二、多选题

9. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，点 $A$ ， $B$ 是 $E$ 上关于原点对称的两点，点 $P$ 是 $E$ 的右支上位于第一象限的动点（不与点 $A$ 、 $B$ 重合），记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、以线段 $A B$ 为直径的圆与 $E$ 可能有两条公切线 B、 $k_{1} k_{2} = 3$ C、存在点 $P$ ，使得 $| k_{1} | + | k_{2} | = 3$ D、当 $a = 2$ 时，点 $P$ 到 $E$ 的两条渐近线的距离之积为3

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10. 已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m} = 1, F_{1}, F_{2}$ 分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是（）

A、若 $m = - 3$ ，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为 $\frac{π}{3}$ B、若曲线C的离心率 $e = 2$ ，则 $m = - 27$ C、若 $m = 3$ ，则曲线C上不存在点P，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ D、若 $m = 3, P$ 为C上一个动点，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $3 \sqrt{2}$

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11. 已知过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线与抛物线交于点 $A$ ， $B$ ，若 $A$ ， $B$ 两点在准线上的射影分别为 $M$ ， $N$ ，线段 $M N$ 的中点为 $C$ ，则（）

A、 $A C ⊥ B C$ B、四边形 $A M C F$ 的面积等于 $| A C | \cdot | M F |$ C、 $| A F | + | B F | = | A F | \cdot | B F |$ D、直线 $C A$ 与抛物线相切

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 上且不在x轴上的一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} b^{2}$ .设C的离心率为e， $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，则（）

A、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | > 2 a$ B、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = a b$ C、 $e \in [\frac{\sqrt{3}}{3} ， 1)$ D、 $\tan θ = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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三、填空题

13. 设 $a \in R$ ，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线l与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 a x - 2 \sqrt{3} y = 0$ 相切，则 $a =$ .

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14. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过点 $N (2 ， 0)$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $\frac{| A N |}{| B N |} = 2$ ，则线段 $A B$ 长为．

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15. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为第二象限内椭圆上的一点，连接 $P F_{2}$ 交 $y$ 轴于点 $N$ ，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ， $| F_{1} F_{2} | = 4 | O N |$ ，其中 $O$ 为坐标原点，则该椭圆的离心率为．

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16. 已知F₁ ， F₂为椭圆C： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 $| PQ | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形PF₁QF₂的面积为。

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四、解答题

17. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ (p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)、求C的方程.

(2)、已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\vec{P Q} = 9 \vec{Q F}$ ，求直线OQ斜率的最大值.

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18. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (0 ， - 2)$ ，以四个顶点围成的四边形面积为 $4 \sqrt{5}$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、过点P(0，-3)的直线l斜率为k ，交椭圆E于不同的两点B ， C ，直线AB ， AC交y=-3于点M、N ，直线AC交y=-3于点N ，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．

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19. 如图， $A$ ， $B$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右顶点，直线 $y = k x + m$ 交椭圆于 $C$ ， $D$ 两点，直线 $A C$ 的斜率是直线 $B D$ 的斜率3倍．

(1)、若 $P$ 为椭圆上异于 $A$ ， $B$ 的一点，证明：直线 $P A$ 和 $P B$ 的斜率之积为常数；

(2)、证明：直线 $C D$ 过定点．

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20. 设点 $P$ 为双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上任意一点，双曲线 $E$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，右焦点与椭圆 $G ： \frac{x^{2}}{t + 6} + \frac{y^{2}}{t + 3} = 1 (t > 0)$ 的右焦点重合．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $P$ 作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点 $A$ ， $B$ ，求证：平行四边形 $O A P B$ 的面积为定值，并求出此定值．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右顶点分别为A、B，其图象经过点 $(\sqrt{3}, 1)$ ，渐近线方程为 $y = \pm x$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、设点E、F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证： $∠ E A F = ∠ E B F$ ．

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22. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，抛物线 $C$ 上不同两点 $M ， N$ 同时满足下列三个条件中的两个：① $| F M | + | F N | = | M N |$ ；② $| O M | = | O N | = | M N | = 8 \sqrt{6}$ ；③直线 $M N$ 的方程为 $y = 6 p$ .

(1)、请分析说明两点 $M ， N$ 满足的是哪两个条件？并求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $P ， l$ 与椭圆 $D ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 相交于 $A ， B$ 两点， $l$ 与直线 $y = - \sqrt{2}$ 交于点 $Q$ ，以 $P Q$ 为直径的圆与直线 $y = - \sqrt{2}$ 交于 $Q ， Z$ 两点，求证：直线 $O Z$ 经过线段 $A B$ 的中点.

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高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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