云南省玉溪市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 3 ， - 2 ， - 1 ， 1 ， 2 ， 3} ， N = {x ∣ x^{2} \leq 4}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${- 3 ， - 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$

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2. 若 $z = (m + 1) + (3 - m) i$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 3)$

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3. 已知直线 $l_{1} ： b x + 2 y + 6 = 0 ， l_{2} ： x + (b - 1) y + 1 = 0$ ，则“ $b = - 1$ ”是“直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是夹角为 $60^{\circ}$ 的单位向量，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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5. 若非零实数 $a ， b$ 满足 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{a}{b} > 1$ B、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ C、 $b^{2} + a > a^{2} + b$ D、 $b^{2} + a^{2} \geq - 2 a b$

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6. 17世纪初，约翰･纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.这一伟大发明被广泛运用至今，例如：我国自主研发的第一个火星探测器“天问一号”，于2020年7月23日发射升空，2021年2月10日成功地进人火星轨道，并于2021年3月4日传来3幅高清火星影像图.已知火星的质量 $M$ 约为 $6 \times$ $1 0^{23} kg$ ，“天问一号”的质量 $m$ 约为 $5 \times 10^{3} kg$ ，则 $lg \frac{M}{m} \approx$ （）(参考数据： $lg 2 \approx 0.30 ， lg 3 \approx 0.48 ， lg 5 \approx 0.70$ )

A、 $19.22$ B、 $19.92$ C、 $20.08$ D、 $20.48$

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点 $P (2 ， y_{0}) ， F$ 为抛物线的焦点，且 $| P F | = 4$ ，则 $y_{0}$ 的值为（）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 4$ C、 $\pm 5$ D、 $\pm 6$

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8. ${(\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{10}$ 的展开式的中间一项是（）

A、 $- 252$ B、252 C、 $105 x$ D、 $\frac{840}{x}$

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9. 一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、2 B、6 C、10 D、12

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10. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（）

① $φ = \frac{π}{3}$ ；

② $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 上单调递增；

③ $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{5 π}{12}$ ；

④要想将 $f (x)$ 变成一个偶函数，可以将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (1 - x)$ .则不等式 $x \cdot f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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12. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{2}$ 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ，若 ${| P F_{1} |}^{2} - {| P F_{2} |}^{2} = 2 c^{2}$ ，则双曲线离心率的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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二、填空题

13. 已知点 $P (- 3 ， 4)$ 为角 $α$ 终边上的一点，则 $sin α =$ .

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + 2 y - 2 \leq 0 ， \\ y \geq 0 \end{array}$ 则 $z = 2 x + 5 y$ 的最大值为.

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15. 如下图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列 ${a_{n}}$ 的前4项，则 $a_{6} =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x + 1} ， x < - 1 \\ 2 x^{3} - 6 x - 1 ， x \geq - 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f^{2} (x) + a f (x)$ 有5个零点，则 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = 2 ， a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{4}$ 的等比中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 某校高三年级统一测试后，整理了某班共50名学生的化学成绩，得到如下的茎叶图：

(1)、写出该班学生化学测试得分的众数；

(2)、从分数在 $[40 ， 49] ， [50 ， 59]$ 的两组学生中，采用分层抽样的方法抽取9人.
①求抽取的9人中分数在[40，49]的学生人数；

②现从这9人中随机抽取3人，用 $X$ 表示抽取的3人中分数在 $[40 ， 49]$ 的学生人数，求随机变量 $X$ 的分布列.

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $c sin \frac{A + C}{2} = b sin C$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若点 $D$ 为 $B C$ 边上一点，且 $A B = 3 ， B D = \frac{1}{3} B C ， tan ∠ A D C = 3 \sqrt{3}$ ，求 $B C$ .

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上的动点， $V C ⊥$ 平面 $A B C ， D ， E$ 分别是 $V A ， V C$ 中点.

(1)、求证： $D E ⊥ V B$ ；

(2)、当 $A C = B C = 2 ， V C = 4$ 时，求二面角 $C - V A - B$ 的正弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - a ln x + \frac{1}{2} ， a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， 2]$ ，都有 $f (x) \leq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- 1 ， 0) ， F_{2} (1 ， 0)$ ，点 $M$ 为曲线 $C$ 上的点，且 $M F_{2} ⊥ F_{1} F_{2} ， △ F_{1} M F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 且斜率为 $k$ 的动直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $P ， Q$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在定点 $N$ ，使得 $\vec{N P} \cdot \vec{N Q}$ 为定值？若存在，试求出定值和点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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