云南省保山市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {y | y = x^{2} - 4 x + 3}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{4 - x}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， 0]$ C、 $[- 1 ， 4]$ D、 $[4 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 若向量 $\vec{a} = (x ， - 1)$ ， $\vec{b} = (0 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{c} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ ，则 $\cos 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 若 $\sin (α + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + α)$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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5. 某程序框图如图所示，若输入的 $a = 3$ ，则输出的 $S =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{7}{3}$

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6. 设 $p$ ：实数 $x$ 满足 $e^{x - 1} > e$ ， $q$ ：函数 $y = \ln (x^{2} - 3 x + 2)$ 有意义，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $C_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C$ 的中点，则 $B_{1} E$ 与 $D F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{30}$ D、 $\frac{2 \sqrt{30}}{15}$

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8. 若函数 $y = \sin (2 x + φ)$ （ $φ > 0$ ）关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑 $A - B C D$ 中，满足 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，且 $B C = 3$ ， $C D = 4$ ，当该鳖臑的体积为10时，它外接球的表面积为（）

A、 $25 π$ B、 $50 π$ C、 $100 π$ D、 $200 π$

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10. 在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为“整点”，现部分整点按如下规律排成一列：(0，0]，(0，1]，(1，0]，(0，2)，(1，1]，(2，0]，(0，3]，(1，2)，(2，1]，(3，0]，(0，4]，(1，3)，(2，2)，(3，1]，( 4，0]，…，则第666个整点是（）

A、(36，0] B、(35，0) C、( 18，0] D、( 17，0]

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）与直线 $l ： y = 4 x + 1$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $l$ 上存在一点 $P$ 满足 $\vec{M P} = \vec{P N}$ ，坐标原点为 $O$ ，直线 $O P$ 的斜率为2，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、3

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln x | + a ， x > 0 ， \\ - x^{2} + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，且 $a \geq 1$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - (m + 2) f (x) + 2 m = 0$ 有三个不同的实数根，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， e)$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[0 ， e]$

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二、填空题

13. 已知 ${(2 x - \frac{1}{a x})}^{6}$ 展开式中第二项的系数为-96，则常数项为（用数字作答）．

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14. 已知双曲线的标准方程为 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，其右焦点为 $F_{1}$ ，以 $O F_{1}$ 为直径的圆和直线 $x = 1$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ ．

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15. 如图，某同学在 $R t △ A B C$ （角 $A$ 等于 $60 °$ ）内用尺规作图， $D$ 为线段 $A B$ 上一点，以点 $B$ 为圆心、 $B D$ 为半径画圆，以 $A$ 为圆心， $A D$ 为半径再所画的圆刚好经过点 $C$ ，在 $R t △ A B C$ 内任取一点，则该点取自扇形 $B D E$ 内的概率为．

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16. 函数 $f (x) = | \sin x | + \frac{1}{| \sin x |} + m^{2} - 5 m + 4$ 有零点，则 $m$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知经过点 $M (2 ， 1)$ 的直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos θ ， \\ y = \sin θ ， \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程及直线 $l$ 的参数方程；

(2)、求 ${| M A |}^{2} + {| M B |}^{2}$ 的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $n a_{n + 1} = 2 (n + 1) a_{n}$ （ $n \in N_{+}$ ），且 $a_{1} = 2$ ．

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 为等比数列，并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{2 a_{n}}{n^{2} (n + 1) 2^{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < 2$ ．

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19. 2020新年伊始爆发的新冠疫情让广大民众意识到健康的重要性，云南省全面开展爱国卫生7个专项行动及健康文明生活的6条新风尚行动，其中“科学健身”鼓励公众每天进行60分钟的体育锻炼．某社区从居民中随机抽取了若干名，统计他们的平均每天锻炼时间（单位：分钟/天），得到的数据如下表：（所有数据均在0~120分钟/天之间）

平均锻炼时间	$[0 ， 20)$	$[20 ， 40)$	$[40 ， 60)$	$[60 ， 80)$	$[80 ， 100)$	$[100 ， 120]$
人数	27	39	a	b	45	15
频率	0.09	0.13	0.38	c	0.15	0.05

(1)、求

a

，

b

，

c

的值；

(2)、为了鼓励居民进行体育锻炼，该社区决定对运动时间不低于

m

分钟的居民进行奖励，为使30%的人得到奖励，试估计

m

的取值？

(3)、在第（2）问的条件下，以频率作为概率，在该社区得到奖励的人中随机抽取4人，设这4人中日均锻炼时间不低于80分钟的人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望．

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20. 如图，四边形 $A B E F$ 是矩形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = A C = 4$ ， $A F = 2$ ．

(1)、在直线 $A C$ 上是否存在一点 $M$ ，使得 $D M //$ 平面 $A B F$ ？若存在，试确定点 $M$ 的位置并证明，若不存在，请说明理由；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $A D F$ 所成角的正弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）经过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，且长轴是短轴的两倍．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点， $A (0 ， 1)$ ，直线 $l ： y = k x + t$ （ $t \neq \pm 1$ ）与曲线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ 与 $x$ 轴相交于点 $M$ ，直线 $A Q$ 与 $x$ 轴相交于点 $N$ ，若 $| O M | \cdot | O N | = 4$ ，求证：直线 $l$ 经过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = - x^{2} - 3$ ， $g (x) = 2 x \ln x - a x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与 $g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线平行，求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 0$ 时，证明：不等式 $\frac{1}{2} g (x) - e^{x} + 1 < \sin x$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立．

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