四川省资阳市2020-2021学年高二下学期理数期末质量检测试卷

试卷更新日期：2021-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{2} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{2} y = 0$ C、 $x \pm 2 y = 0$ D、 $2 x \pm y = 0$

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2. 抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的准线方程为（）

A、 $y = - 1$ B、 $y = - \frac{1}{2}$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ D、 $x = - \frac{1}{8}$

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3. 复数 $\frac{1 + 2 i}{1 - i} =$ （）

A、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$

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4. 若 ${(2 x + \frac{a}{x})}^{6}$ 展开式的常数项为160，则a=（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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5. 曲线 $f (x) = x \ln x + 2 x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = 2 x + 1$ C、 $y = 3 x - 1$ D、 $y = 4 x - 2$

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6. 函数 $f (x) = \sqrt{x} \cdot \ln x$ 的递增区间为（）

A、 $(\frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{e^{2}})$ D、 $(0 ， \frac{1}{e})$

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7. 函数 $f (x) = (x^{2} - 1) e^{| x |} + 1$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若函数 $f (x) = 2 \ln x + x^{2} - a x - 1$ 有两个极值点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2 \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $(4 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 4) \cup (4 ， + \infty)$

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9. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点，点 $M$ 在 $E$ 的右支上， $△ F_{1} M F_{2}$ 为等腰三角形，且 $∠ M F_{2} F_{1} = 120 °$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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10. 甲、乙、丙、丁4名学生参加体育训练，若每人在A，B，C三个项目中各选一项进行训练，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{12}$

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11. 抛物线 $E$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，E的准线l与x轴交于点A，M为E上的动点.则 $\frac{| M F |}{| M A |}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 函数 $f (x) = 1 - x (x < 0)$ ， $g (x) = \frac{e^{x}}{x} + x^{2} - 3 x + 1 (x > 0)$ ．若 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{e}{2} - 1$ B、 $\frac{e - 1}{2}$ C、 $e - 1$ D、 $e$

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二、填空题

13. 若 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $f (x) = \sin x - a x$ 的一个极值点，则 $a =$ ．

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14. 3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则相同科目的书不相邻的放法共有种．

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15. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），且两个圆锥的底面半径均为2，母线长均为4，记过两圆锥轴的平面 $A B C D$ 为平面 $α$ （平面 $α$ 与两个圆锥面的交线为 $A C$ ， $B D$ ）．用平行于 $α$ 的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线 $E$ 的一部分，且 $E$ 的两条渐近线分别平行于 $A C$ ， $B D$ ，则双曲线的离心率为．
.

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16. 若关于x的不等式 $\ln x \leq a x + 1$ 恒成立，则 $a$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 解答下列两个小题：

(1)、双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 离心率为 $\sqrt{2}$ ，且点 $(2 ， \sqrt{2})$ 在双曲线 $E$ 上，求 $E$ 的方程；

(2)、双曲线 $C$ 实轴长为2，且双曲线 $C$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点相同，求双曲线 $C$ 的标准方程．

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18. 某学校高中一年级一个兴趣小组开展某项实验，已知在该项实验中，每次实验成功的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次实验互不影响．

(1)、求该兴趣小组在4次实验中至少有2次成功的概率；

(2)、如果在若干次实验中累计有2次成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，但实验的总次数不超过4次．求该兴趣小组所做实验次数 $X$ 的分布列和数学期望．

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19. 某公司为改进生产方式，提升产品品质，现随机抽取了100名顾客体验产品，顾客体验结束后对产品体验效果进行评分（满分100分），记体验评分低于85分为“一般”，不低于85分为“良好”．

(1)、将下面 $2 \times 2$ 的列联表补充完整；通过计算判断，有没有90%的把握认为顾客体验评分为“良好”与性别有关？

一般

良好

合计

男

20

女

20

60

合计

(2)、根据（1）中列联表的数据，在评分为“良好”的顾客中按照性别用分层抽样的方法抽取了6个顾客．若从这6个顾客中随机抽取3个赠送其产品的“体验月卡”，记所抽取的3个顾客中女顾客的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．
附表及公式：

P（K²≥k₀）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

k₀

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

其中 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x + 2 a$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 只有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

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21. 平面直角坐标系中，点 $F (1 ， 0)$ ，直线 $l$ ： $x = - 3$ ．动点 $P$ 到 $l$ 的距离比线段 $P F$ 的长度大2，记 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、设点 $A (1 ， t) (t > 0)$ 在 $E$ 上， $C$ ， $D$ 为 $E$ 上异于 $A$ 的两个动点，且直线 $A C$ ， $A D$ 的斜率互为相反数，求证：直线 $C D$ 的斜率为定值，并求出该定值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a \ln x$ ．

(1)、 $a = e$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) \geq a \ln a$ ，求 $a$ 的取值范围．

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P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

	一般	良好	合计
男		20
女	20		60
合计