四川省雅安市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{2}{1 - i^{3}}$ ，则在复平面内z对应的点的坐标为（）

A、 $(1 ， 1)$ B、 $(1 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 1)$ D、 $(- 1 ， - 1)$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \leq 0 ， x_{0}^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} < 0 ， x_{0}^{2} < 0$ B、 $\forall x > 0 ， x^{2} < 0$ C、 $\exists x_{0} > 0 ， x_{0}^{2} > 0$ D、 $\forall x \leq 0 ， x^{2} < 0$

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3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉．魏．晋．南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部是汉．魏．晋．南北朝时期专著的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{9}{10}$ D、 $\frac{7}{10}$

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4. 若命题 $p ： a + b < 3$ ，命题 $q ： a < 1$ 且 $b < 2$ ，则 $q$ 是 $p$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 若随机变量X的分布列为

X

2

3

4

p

a

b

a

则X的数学期望 $E (X) =$ （）

A、 $2 a + 2 b$ B、 $2 a + b$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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6. ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、 $- 240$ B、60 C、240 D、-60

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7. 在某项测量中，测得变量 $ξ \sim N (2 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ．若 $ξ$ 在 $(- \infty ， 3)$ 内取值的概率为0.8，则 $ξ$ 在 $(2 ， 3)$ 内的取值的概率为（）

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

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8. 设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则 $D (X)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{16}$

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9. 已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (2 ， 2 ， - 1)$ ，点 $A (0 ， 1 ， - 3)$ 在平面 $α$ 内，则点 $P (2 ， - 3 ， - 2)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\sqrt{21}$

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10. 若 $f (x) = x^{2} + m \ln x$ 在 $(\sqrt{2} ， + \infty)$ 是增函数，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 4 ， + \infty)$ B、 $[- 4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 4]$ D、 $(- \infty ， - 4)$

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11. 甲乙两人独立地从五门选修课中各自选两门进行学习，记两人所选选修课程相同的门数为 $ξ$ ，则 $E (ξ)$ 为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - a$ ， $g (x) = \frac{3 (\ln x - a x)}{\ln x}$ ，若方程 $f (x) = g (x)$ 仅有1个实数解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， e)$ B、 $(0 ， \frac{1}{e}]$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (e ， + \infty)$ D、 ${\frac{1}{e}} \cup (- \infty ， 0)$

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二、填空题

13. 曲线 $f (x) = x \cos x$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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14. A家庭有一对夫妻和两个女儿，B家庭有一对夫妻和两个儿子，共8人，一起去游乐场游玩，坐在共有8个座位的一排座位上，A家庭的两个女儿要相邻，B家庭的两个儿子要相邻，并且为了安全起见，两位爸爸要坐在两端．那么这8人的排座方法种数为．

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15. 为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30名学生，得到如下

2 \times 2

列联表：

	篮球	舞蹈	合计
男	13	7	20
女	2	8	10
合计	15	15	30

根据表中的数据，及观测值K²（其中 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ），参考数据：

P（K²≥k₀）	0.05	0.025	0.010
k₀	3.841	5.024	6.635

则在犯错误的概率不超过前提下，认为选择舞蹈与性别有关.

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) - x f^{'} (x) > 0$ ，若 $f (- 1) = 0$ 则不等式 $\frac{f (x)}{x - 2} < 0$ 的解集为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 3)$ 上的值域．

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18. 某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩（总分50分），经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求所抽取的样本的众数、中位数、平均数；

(2)、将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取3名学生，记这3个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于 $[30 ， 50]$ 内的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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19. 如图，面 $B C C_{1} B_{1}$ 是某圆柱的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面），线段 $A A_{1}$ 是该圆柱的一条母线， $B C = 2 A B$ ，点D为 $A A_{1}$ 的中点．

(1)、当点E为棱BC的中点时，求证： $A E //$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、当轴截面 $B C C_{1} B_{1}$ 是边长为2的正方形时，求平面 $B D B_{1}$ 与平面 $B C_{1} D$ 所成角的正弦值．

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20. 某5G科技公司对某款5G产品在2021年1月至4月的月销售量及月销售单价进行了调查，月销售单价x和月销售量y之间的一组数据如下表所示：

月份	1	2	3	4
月销售单价（百元）	9	8.8	8.6	8.4
月销售量（万件)	73	79	83	85

(1)、由散点图可知变量y与x具有线性相关关系，根据1月至4月的数据，求出y关于x的回归直线方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(2)、预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是350元/件，则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润?(注：利润＝销售收入－成本).

附参考公式和数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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21. 已知命题 $p ：$ 关于 $x$ 的不等式 $a^{x^{2} - 2 x - 3} \leq 1$ 的解集为 ${x | x \geq 3$ 或 $x \leq - 1}$ ，命题 $q ：$ 函数 $f (x) = \lg (a^{2} x^{2} - 2 x + 2)$ 的定义域为R，若 $p \land q$ 为假命题， $p \lor q$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 设函数 $f (x) = \ln x - (a - 2) x (a \in R)$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、令 $h (a) = f {(x)}_{\max} + \ln (a - 2) + 2$ ， $g (a) = \ln (a + 1) - m a + e^{a}$ ，对于任意 $a_{1} \in [0 ， + \infty)$ ， $a_{2} \in (2 ， + \infty)$ ，总有 $g (a_{1}) \geq h (a_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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