四川省南充市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{5}{i + 2}$ 的共轭复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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2. 双曲线 $9 x^{2} - 16 y^{2} = 144$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{9}{16} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{16}{9} x$ D、 $y = \pm \frac{3}{4} x$

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \leq 1 ， \\ \ln x ， x > 1 ， \end{array}$ 则 $f (f (e)) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $\ln (e^{2} + 1)$

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4. 3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（）

A、 $C_{5}^{3}$ B、 $A_{5}^{3}$ C、 $3^{5}$ D、 $5^{3}$

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5. ${(x - \frac{1}{x})}^{9}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是（）

A、-84 B、-56 C、56 D、84

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6. 函数 $f (x) = \sin x - 2 \cos x$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

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7. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（）

A、70 B、64 C、60 D、58

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8. 设偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x^{3} - 8 (x \geq 0)$ ，则 ${x | f (x - 2) > 0} =$ （）

A、 ${x | x < - 2 或 x > 4}$ B、 ${x | x < 0 或 x > 4}$ C、 ${x | x < 0 或 x > 6}$ D、 ${x | x < - 2 或 x > 2}$

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9. 若 $a = 3^{0.5}$ ， $b = \log_{3} 2$ ， $c = \cos 2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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10. 直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BCA＝90°，M ， N分别是A₁B₁ ， A₁C₁的中点，BC＝CA＝CC₁ ，则BM与AN所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 以抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D$ ， $E$ 两点，已知 $| A B | = 4 \sqrt{2}$ ， $| D E | = 2 \sqrt{5}$ ，则 $p =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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12. 若函数 $f (x) = x (\ln x - a x)$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (m ， - 2)$ ，若 $\vec{a} // (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $m =$ .

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14. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = - 3$ ， $2 a_{4} + 3 a_{7} = 9$ ，则 $S_{7} =$ .

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15. 若曲线 $y = e^{a x} - \ln (x + 1)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为 $2 x - y + 1 = 0$ ，则 $a =$ .

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16. 抛物线 $x^{2} = 2 m y (m > 0)$ 的焦点为 $F$ ，其准线与双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (n > 0)$ 有两个交点 $A$ ， $B$ ，若 $∠ A F B = 120 °$ ，则双曲线的离心率为.

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三、解答题

17. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为 $X$ .

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、求 $E (X)$ 和 $D (X)$ .

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18. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，其中 $a = 7 ， b = 8 ， c o s B = - \frac{1}{7}$

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、求 $A C$ 边上的高，

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $∠ B A P = ∠ B C P = 90^{\circ}$ .

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P D = 2$ ，求二面角 $D - P B - C$ 的正弦值.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与 $x$ 轴的交点为 $A (- 1 ， 0)$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $M (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点.求证： $\frac{1}{| P M |^{2}} + \frac{1}{| Q M |^{2}}$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - 1$ 的最小值为0.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $m$ 为整数，且对于任意的正整数 $n$ ， $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) \times \cdot \cdot \cdot \times (1 + \frac{1}{2^{n}}) < m$ ，求 $m$ 的最小值.

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22. 已知 $a ， b ， c \in R^{*}$ ， $a + b + c = 1$ ，求证：

(1)、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq \sqrt{3}$ ；

(2)、 $\frac{1}{3 a + 1} + \frac{1}{3 b + 1} + \frac{1}{3 c + 1} \geq \frac{3}{2}$ .

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23. 已知函数 $f (x) = a^{x} + \sin b - \frac{3}{x + 1} (a \in R ， b \in R ， a > 1)$ 的图象过点 $(0 ， - 1)$ .

(1)、求 $b$ ；

(2)、用反证法证明： $f (x)$ 没有负零点.

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