陕西省咸阳市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = \sin π x$ ，则 $f' (1) =$ （）

A、 $- π$ B、0 C、 $π$ D、1

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2. 已知 $(2 - i) \cdot z = i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{5}$

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3. 在 ${(3 x - 2)}^{5}$ 的展开式中，各项系数的和为（）

A、0 B、1 C、 $5^{5}$ D、 $- 5^{5}$

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4. 已知函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数为 $f^{'} (x_{0})$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + 2 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} =$ （）

A、 $2 f^{'} (x_{0})$ B、 $- 2 f^{'} (x_{0})$ C、 $- \frac{1}{2} f^{'} (x_{0})$ D、 $\frac{1}{2} f^{'} (x_{0})$

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5. 为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案种数为（）

A、 $C_{5}^{3}$ B、 $A_{5}^{3}$ C、 $5^{3}$ D、 $3^{5}$

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6. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (ξ < 2) = P (ξ > 6)$ $= 0.15$ ，则 $P (2 \leq ξ < 4)$ 等于

A、0.3 B、0.35 C、0.5 D、0.7

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7. 如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（）

A、0.196 B、0.504 C、0.686 D、0.994

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8. “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展.下表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：

月份代码x

1

2

3

4

5

销售量y(万辆)

0.5

0.6

1

1.4

1.5

由上表可知其线性回归方程为： $\hat{y} = 0.28 x + a$ ，则a的值为（）

A、0.16 B、1.6 C、0.06 D、0.8

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9. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，且 $y = f' (x)$ 的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（）

A、 $f (a) = 0$ B、 $f (x)$ 没有极大值 C、 $x = b$ 时， $f (x)$ 有极大值 D、 $x = c$ 时， $f (x)$ 有极小值

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10. 中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽．现A，B，C，D，E共5位优秀学生准备分别前往新疆、湖北、山东、河北这四个地方考察，用实际行动支持中国棉花．每个地方至少有一位学生去，其中A，B，C不去河北但能去其他三个地方，D，E四个地方都能去，则不同的安排方案种数是（）

A、240 B、126 C、78 D、72

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - a x - \frac{1}{e} (a > 0)$ 的图像与x轴有唯一的公共点，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{1}{e}$ C、e D、1

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12. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = x^{2} + a x$ $(a \in R)$ ，若经过点 $A (0 ， - 1)$ 存在一条直线 $l$ 与 $f (x)$ 图象和 $g (x)$ 图象都相切，则 $a =$ （）

A、0 B、-1 C、3 D、-1或3

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二、填空题

13. 10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为．

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14. 现有6名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同的站法共有种．

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15. 若 $f (x) = \cos x - a x$ 在 $R$ 上为增函数，则实数a的取值范围为．

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16. 若对任意 $0 < x_{1} < x_{2} < a$ ，有 $\frac{\ln x_{1}}{x_{1}} - \frac{\ln x_{2}}{x_{2}} < \frac{1}{x_{2}} - \frac{1}{x_{1}}$ 成立，则 $a$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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18. 在二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{12}$ 的展开式中，

(1)、求展开式中含 $x^{3}$ 项的系数：

(2)、如果第 $3 k$ 项和第 $k + 2$ 项的二项式系数相等，试求 $k$ 的值.

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19. 青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按

(0 ， 30]

，

(30 ， 60]

，

(60 ， 90]

，

(90 ， 120]

，

(120 ， 150]

，

(150 ， 180]

分成6组，得到如下频数分布表：

时间/分钟	$(0 ， 30]$	$(30 ， 60]$	$(60 ， 90]$	$(90 ， 120]$	$(120 ， 150]$	$(150 ， 180]$
频数	12	38	72	46	22	10

记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．

(1)、完成下面的列联表；

	非长时间使用电子产品	长时间使用电子产品	合计
患近视人数		100
未患近视人数			80
合计			200

(2)、判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	6.635	10.828

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20. 已知复数 $z_{1} = a + 3 i$ ， $z_{2} = 2 - a i$ ( $a \in R$ ，i是虚数单位).

(1)、若 $z_{1} - \bar{z_{2}}$ 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；

(2)、若虚数 $z_{1}$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 的根，求实数m的值.

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21. 为贯彻高中育人方式的变革，某省推出新的高考方案是“

3 + 1 + 2

”模式，“3”是语文､数学､外语三科必选，“1”是在物理和历史两科中选择一科，“2”是在化学､生物､政治､地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学，结合本校实际情况，给出四种可供选择的组合进行模拟选课，组合A：物理､化学､生物；组合B：物理､生物､地理；组合C：历史､政治､地理；组合D：历史､生物､地理.在本校选取100名学生进行模拟选课，每名同学只能选一个组合，选课数据统计如下表：(频率可以近似看成概率)

组合	组合A	组合B	组合C	组合D
人数	40	a	30	20
频率	0.4	0.1	0.3	b

(1)、求表格中的a和b；

(2)、根据模拟选课数据，估计已知某同学选择地理的条件下，在“1”中选择物理的概率；

(3)、甲､乙､丙三位同学每人选课是相互独立的，设X为三人中选择含地理组合的人数，求X的分布列和数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 存在极值，求a的取值范围；

(2)、当 $a = - 1$ 时，求证： $f (x) \leq x e^{x} - 1$ .

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月份代码x	1	2	3	4	5
销售量y(万辆)	0.5	0.6	1	1.4	1.5