陕西省渭南市大荔县2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知i是虚数单位，复数 $z = \frac{i}{i + 1}$ ，则z的虚部为（　　）

A、 $\frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 有一个三段论推理：“等比数列中没有等于 $0$ 的项，数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，所以 $a_{n} \neq 0$ ”，这个推理（）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、是正确的

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3. 设 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} - Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} =$ （）

A、 $- f^{'} (x_{0})$ B、 $f^{'} (- x_{0})$ C、 $f^{'} (x_{0})$ D、 $2 f^{'} (x_{0})$

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4. 命题“若 $x = 1$ ，则 $x^{2} < 2$ ”的否命题是（）

A、“若 $x^{2} < 2,$ 则 $x = 1$ ” B、“若 $x \geq 1$ ，则 $x \neq 1$ ” C、“若 $x = 1$ ，则 $x^{2} > 2$ ” D、“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} \geq 2$ ”

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5. 党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（ $G D P$ ） $y$ （单位：万亿元）关于年份代号 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 6. 60 x + 50.36$ （ $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ ），由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（）

A、14.04 B、202.16 C、13.58 D、14.50

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 16 x$ 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 $2 \sqrt{2}$ ，则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{14} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{14} = 1$

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7. 关于x的不等式 $- x^{2} + 4 x + 5 > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 5, 1)$ B、 $(- 1, 5)$ C、 $(- \infty, - 5) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$

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8. 已知随机变量 $X$ ， $Y$ 满足： $X \sim B (2, p)$ ， $Y = 2 X + 1$ ，且 $P (X \geq 1) = \frac{5}{9}$ ，则 $D (Y) =$ （）.

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{16}{9}$ D、 $\frac{17}{9}$

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9. 《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”.则第4人所得钱数为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 钱 B、 $\frac{2}{3}$ 钱 C、 $\frac{5}{6}$ 钱 D、1钱

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10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”．现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为（）．

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{11}{14}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，若满足 ${sin}^{2} A = {sin}^{2} B + \sqrt{3} sin B \cdot sin C + {sin}^{2} C$ ，则A等于（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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12. 若关于 $x$ 的方程 $l n x - a x = x^{2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上有两个不等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ 3 x - y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y + 4 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最小值为．

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14. $\int_{1}^{e} (x^{2} + \frac{1}{x}) d x =$ ．

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15. 若向量 $\vec{a} =$ （1，λ，2）， $\vec{b} =$ （﹣2，1，1）， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{6}$ ，则λ=.

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16. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为 $\frac{1}{n} (n \geq 2)$ ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 $\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ ，…，则第7行第5个数(从左往右数)为.

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3, a_{4} = 24$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、设等差数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{2} = a_{2}, b_{9} = a_{5}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$

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18. 如图，直三棱柱 $A B C － A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D ， E$ 分别是 $A B ， B B_{1}$ 的中点， $A A_{1} = A C = C B = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = 2$ ．

(1)、求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C D$ ；

(2)、求二面角 $D - A_{1} C - E$ 的正弦值．

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19. 已知抛物线 $C$ ： $y = 2 x^{2}$ 和直线 $l$ ： $y = k x + 1$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、若抛物线 $C$ 的焦点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{7}{16}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 与直线 $y = 2 x$ 平行，求直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交所得的弦长.

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{cases} x = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} t \end{cases}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} (\cos^{2} θ + 9 \sin^{2} θ) = 9 .$

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C交于M，N两点，设 $P (2, 0)$ ，求 $| P M | + | P N |$ 的值．

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21. 为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：

	无疲乏症状	有疲乏症状	总计
未接种疫苗	100	20	120
接种疫苗	$x$	$y$	$n$
总计	160	$m$	200

(1)、求

2 \times 2

列联表中的数据

x

，

y

，

m

，

n

的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.

(2)、从接种疫苗的

n

人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为

X

，求

X

的分布列和数学期望.

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

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22. 已知函数 $f (x) = (a - \frac{1}{2}) x^{2} - 2 a x + \ln x ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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