山东省淄博市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 6$ ， $a_{8} = 21$ ，则公差 $d$ 为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知某一随机变量 $X$ 的分布列如下，且 $E (X) = 5.9$ ，则 $a$ 的值为（）

$X$

4

$a$

9

$P$

0.5

0.2

$b$

A、5 B、6 C、7 D、8

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3. ${(\frac{2}{x} - \sqrt{x})}^{6}$ 展开式中常数项为（）

A、60 B、-60 C、160 D、-160

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4. 一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下．佛塔依山势自上而下，按1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19的奇数排列成十二行．现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，……，108，则编号为22的佛塔所在层数为（）

A、第5行 B、第6行 C、第7行 D、第8行

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5. 设 ${(x - 2)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{0} = - 16$ B、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 81$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 15$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} = 41$

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6. 风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.2021年是中国共产党百年华诞，为深入开展党史学习教育活动，某街道党支部决定将6名党员（包含2名女党员）全部安排到甲、乙2个社区进行专题宣讲，每个社区至少2名党员，并且两名女党员不能在同一个社区，则不同的安排方法总数为（）

A、12 B、28 C、36 D、56

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7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．若数列 ${a_{n}}$ 是斐波那契数列，则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots \dots + a_{2021}^{2} =$ （）

A、 $a_{2019} a_{2020}$ B、 $a_{2020} a_{2021}$ C、 $a_{2021} a_{2022}$ D、 $a_{2022} a_{2023}$

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8. 若 $a = \frac{1}{2} \ln 2$ ， $b = \frac{1}{3} \ln 3$ ， $c = \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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二、多选题

9. 已知函数f(x)的导函数f’(x)的图像如图所示，则下列结论正确的是（）

A、当x=3时，函数f(x)取得极大值 B、函数f(x)在区间(-1，1)上是单调递减的 C、当x=1时，函数f(x)取得极小值 D、函数f(x)在区间(5，6)上是单调递增的

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10. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} < 0$ ，公比 $0 < q < 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 中的所有偶数项可以组成一个公比为 $q^{2}$ 的等比数列 B、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对 $\forall n > 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $S_{n} < a_{n} + a_{1}$ 恒成立 C、数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 D、数列 ${\lg (- a_{n})}$ 是首项和公差都小于0的等差数列

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11. 下列说法错误的是（）

A、对于回归方程 $\hat{y} = 3 x + 1$ ，变量 $x$ 每增加1个单位，变量 $\hat{y}$ 平均增加4个单位 B、由样本数据得到的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必经过点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ C、两个相关变量的线性相关系数越接近0，这两个变量的相关性越强 D、如果一组数据代表的散点全部落到一条斜率为3的直线上，则相关指数 $R^{2} = 1$

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12. 一袋中装有5个大小相同的小球，其中黑球2个，白球3个，则下列结论正确的是（）

A、若有放回地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率是 $\frac{3}{5}$ B、若一次性地摸取3个球，则取出的球中有2个白球的概率是 $\frac{3}{5}$ C、若有放回地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 $\frac{7}{10}$ D、若一次性地摸取3个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 $\frac{7}{10}$

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三、填空题

13. 设函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 4$ ，则 $f (x)$ 的极大值与极小值之差为．

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14. 已知 $a = C_{20}^{0} + C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + C_{20}^{3} \cdot 2^{3} + \dots + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ ，则a除以10的余数是．

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15. 设随机变量ξ服从二项分布 $B (5 ， \frac{1}{2})$ ，则函数f(x)=x²+4x+ξ存在零点的概率是.

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16. 已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布 $N (100 ， 225)$ ，则这次考试成绩不低于100分的约有人；这次考试分数低于70分的约有人．
参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ．

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四、解答题

17. 为检查“创建全国文明城市”（以下称“创城”）活动成果，某市统计了自宣传发动“创城”以来的几个月中，在市区某主要路段的骑行者和行人过马路情况，并从中随机抽查了60人，得到

2 \times 2

列联表如下：

	不走斑马线	走斑马线	合计
骑车	6
步行		22	30
合计			60

(1)、补全上述列联表；

(2)、根据小概率值

α = 0.1

的

χ^{2}

独立性检验，有没有充分证据推断：过马路“不走斑马线行为”与骑车有关？

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

α	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
x_α	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

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18. 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.

(1)、该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？

(2)、若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率.

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19. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} - 2 S_{2} = 1$ ， $a_{2 n + 1} - 2 a_{n} = 3$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{4 n}{a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} + 1 (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 为践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某市环保部门对某大型企业进行排放物监控．测得排放的可吸入颗粒物浓度 $y$ （单位： ${mg/m}^{3}$ ）、监控点与企业的距离 $x$ （单位：km）的数据，并进行了初步处理，得到了下面的一些统计量的值（其中 $u_{i} = \frac{1}{x_{i}}$ ， $\bar{u} = \frac{1}{9} \sum_{i = 1}^{9} u_{i}$ ）： $\bar{x} = 6$ ， $\bar{y} = 97.90$ ， $\bar{u} = 0.21$ ， $\sum_{i = 1}^{9} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 60$ ， $\sum_{i = 1}^{9} {(u_{i} - \bar{u})}^{2} = 0.14$ ， $\sum_{i = 1}^{9} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 14.12$ ， $\sum_{i = 1}^{9} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 26.13$ ， $\sum_{i = 1}^{9} (u_{i} - \bar{u}) (y_{i} - \bar{y}) = - 1.40$ ．

(1)、利用相关系数，判断 $y = a + b x$ 与 $y = c + \frac{d}{x}$ 哪一个更适合作为可吸入颗粒物浓度 $y$ 关于监控点与该企业距离 $x$ 的回归方程类型？（精确到0.001）
（计算过程中的可参考数据： $\sqrt{847.2} \approx 29.107$ ， $\sqrt{1.9768} \approx 1.406$ ）

(2)、根据（1）的判断结果，求其回归方程，并预测当 $x = 20$ 时可吸入颗粒物浓度的预报值？
附：对于一组数据 $(t_{1} ， s_{1})$ ， $(t_{2} ， s_{2})$ ，…， $(t_{n} ， s_{n})$ ，其线性相关系数为： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (s_{i} - \bar{s})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(s_{i} - \bar{s})}^{2}}}$ ，

回归直线方程 $s = α + β t$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $β = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (s_{i} - \bar{s})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $α = \bar{s} - β \bar{t}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x + e^{- x} - \sin x$ ，其中 $e = 2.718281 \cdot \cdot \cdot$ 是自然对数的底数．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $[π ， \frac{3 π}{2}]$ 上的单调性，并求最小值；

(2)、设 $g (x) = \frac{1}{2} x + 2 e^{- x} - f (x)$ ，证明：函数 $g (x)$ 在区间 $(\frac{3 π}{2} ， 2 π)$ 上有唯一零点．

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$X$	4	$a$	9
$P$	0.5	0.2	$b$