山东省烟台市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 3}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | x < 3}$ B、 ${x | 1 < x < 3}$ C、 ${x | x \geq 1}$ D、 ${x | 1 \leq x < 3}$

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2. “ $\frac{1}{a} < 1$ ”是“ $a > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \leq 1 \\ f (x - 1) ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、不确定

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4. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{x^{2} + 1}$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若函数 $f (x) = a x^{2} - \frac{1}{x}$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}]$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$

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6. 某种放射性物质在其衰变过程中，每经过一年，剩余质量约是原来的 $\frac{2}{3}$ ．若该物质的剩余质量变为原来的 $\frac{1}{4}$ ，则经过的时间大约为（）（ $\lg 2 \approx 0.301$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ）

A、2.74年 B、3.42年 C、3.76年 D、4.56年

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 0 \\ x + 2 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若 $f (m) = f (n)$ 且 $n < m$ ，则 $m - n$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、 $e^{2} - 1$ D、 $e^{2}$

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8. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ ， $f (- 1) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，则不等式 $(2^{x} - 1) f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列说法正确的有（）

A、“ $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $2^{x} > 1$ ”的否定为“ $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $2^{x} \leq 1$ ” B、“ $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $2^{x} > 1$ ”的否定为“ $\exists x \in (- \infty ， 0]$ ， $2^{x} \leq 1$ ” C、“ $\exists x > 0$ ， $x^{2} - x - 1 > 0$ ”的否定为“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - x - 1 \leq 0$ ” D、“ $\exists x > 0$ ， $x^{2} - x - 1 > 0$ ”的否定为“ $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - x - 1 \leq 0$ ”

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$ ， $g (x) = \lg (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 为偶函数 B、函数 $g (x)$ 为奇函数 C、函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值与最小值之和为0 D、设 $F (x) = f (x) + g (x)$ ，则 $F (2 a) + F (- 1 - a) < 0$ 的解集为 $(1 ， + \infty)$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ ， $g (x) = | x - a | (a \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 单调递减 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称 C、若方程 $f (x) = g (x)$ 仅有1个实数根，则 $0 < a < 4$ D、当 $a < 0$ 或 $a > 4$ 时，方程 $f (x) = g (x)$ 有3个实数根

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12. 若函数 $g (x)$ 在区间 $D$ 上有定义，且对 $\forall a ， b ， c \in D$ ， $g (a)$ ， $g (b)$ ， $g (c)$ 均可作为一个三角形的三边长，则称 $g (x)$ 在区间 $D$ 上为“ $M$ 函数”．已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x} - \ln x + k$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 为“ $M$ 函数”，则实数 $k$ 的值可能为（）

A、 $4 - e$ B、 $e - 1$ C、 $2 e - 5$ D、 $\frac{1}{4} e^{2}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - \log_{2} x}$ 的定义域为．

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14. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - 7 x + 2 a ， x \geq 1 \\ x^{2} - a x + 1 ， x < 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围为．

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15. 若函数 $y = 2 e^{x} - 3$ 在 $x = 0$ 处的切线与 $y = \ln x + a x$ 的图象相切，则实数 $a$ 的值为．

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16. 已知函数 $f (x) = a - x^{2} (0 < x < \sqrt{a})$ 在其图象上任意一点 $P (t ， f (t))$ 处的切线，与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点，设 $△ O M N$ （ $O$ 处坐标原点）的面积为 $S (t)$ ，当 $t = t_{0}$ 时， $S (t)$ 取得最小值，则 $\frac{\sqrt{a}}{t_{0}}$ 的值为．

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四、解答题

17. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x - \sin x$ ．

(1)、当 $x < 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于 $m$ 的不等式 $f (2 m) > f (m - 1)$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论方程 $f (x) = a (\in R)$ 实数解的个数．

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19. 已知函数 $f (x) = \ln (4^{x} + k \cdot 2^{x} + 1) (k \in R)$ ， $g (x) = x \ln 2$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求 $k$ 的取值范围；

(2)、若不等式 $f (x) < g (x)$ 有解，求 $k$ 的取值范围．

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20. 如图，将一张长为 $a$ ，宽为 $\frac{5}{8} a$ 的矩形铁皮的四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器．设截去的小正方形的边长为 $x$ ，所得容器的体积为 $V$ ．

(1)、将 $V$ 表示为 $x$ 的函数 $V (x)$

(2)、 $x$ 为何值时，容积 $V$ 最大？求出最大容积．

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln x - x + m (m \in R)$ ．

(1)、若 $y = f (x)$ 的图象恒在 $x$ 轴上方，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若存在正数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{- x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、令 $g (x) = \frac{a}{f (x)} + \ln f (x) (a \in R)$ ，对任意 $x \geq 1$ ， $g (x) \geq - 1$ ．求 $a$ 的取值范围．

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