高中数学人教A版（2019）选修一第二章直线和圆的方程

试卷更新日期：2021-08-18 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 倾斜角为45°，在 $y$ 轴上的截距是-2的直线方程为（）．

A、 $x - y + 2 = 0$ B、 $x - y - 2 = 0$ C、 $x - \sqrt{2} y - 2 = 0$ D、 $x + \sqrt{2} y + 2 = 0$

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2. 已知直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 与直线 $2 x + m y + 1 = 0$ 平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$

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3. 圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ 的圆心和半径分别是（）

A、 $(- 2, 3)$ ， $\sqrt{5}$ B、 $(2, - 3)$ ， $\sqrt{5}$ C、 $(- 2, 3)$ ，5 D、 $(2, - 3)$ ，5

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4. 半径为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线y=0和 $\sqrt{3} x - y - 6 = 0$ 均相切，则该圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 1$ B、 ${(x - \sqrt{3})}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2} = 1$ D、 ${(x - \sqrt{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

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5. 若直线 $2 x + b y - 4 = 0$ 平分圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 的周长，则 $b$ 的值为（）

A、2 B、－2 C、－3 D、3

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6. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）²+y²＝3截得的弦长等于（）

A、 B、2 C、2 D、4

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7. 已知两点 $A (1 ， - 2)$ 、 $B (2 ， 1)$ ，直线 $l$ 过点 $P (0 ， - 1)$ 且与线段 $A B$ 有交点，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ B、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$ C、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$ D、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$

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8. 已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x²＋y²＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且 $| \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} | \geq \frac{\sqrt{3}}{3} | \overset{⇀}{A B} |$ ，则k的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{3} ， + \infty)$ B、 $[\sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$ C、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$ D、 $[\sqrt{3} ， 2 \sqrt{2})$

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二、多选题

9. 已知直线 $l_{1} : 2 x + 3 y - 1 = 0$ 和 $l_{2} : 4 x + 6 y - 9 = 0$ ，若直线 $l$ 到直线 $l_{1}$ 的距离与到直线 $l_{2}$ 的距离之比为 $1 : 2$ ，则直线的方程为（）

A、 $2 x + 3 y - 8 = 0$ B、 $4 x + 6 y + 5 = 0$ C、 $6 x + 9 y - 10 = 0$ D、 $12 x + 18 y - 13 = 0$

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10. 直线 $x + y + 2 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上，则 $△ P A B$ 面积的可能取值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、6

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11. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l ： (3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0$ ，( $m \in R$ )．则下列四个命题正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 3 ， 3)$ B、当 $m = 0$ 时，圆 $C$ 上有且仅有三个点到直线 $l$ 的距离都等于1 C、圆 $C$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + m = 0$ 恰有三条公切线，则 $m = 16$ D、当 $m = 13$ 时，直线 $l$ 上一个动点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A$ ， $P B$ ，其中 $A$ ， $B$ 为切点，则直线 $A B$ 经过点 $(- \frac{16}{9} ， - \frac{4}{9})$

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12. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + m = 0$ 上至多有一点到直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 的距离为1，则实数m的取值可以是（）

A、0 B、1 C、3 D、5

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三、填空题

13. 已知直线 $l_{1} ： (m - 1) x - 3 y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2} ： 2 x + m y - 5 = 0$ 垂直，则实数 $m =$ .

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14. 已知圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 3$ ，从点 $P (- 1 ， - 3)$ 发出的光线，经直线 $y = x + 2$ 反射后，恰好经过圆心 $C$ ，则入射光线的斜率为.

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15. 点 $P (- 5, 7)$ 到直线 $12 x + 5 y - 1 = 0$ 的距离为.

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16. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，过点 $(\sqrt{3} ， 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 \sqrt{3} x + 8 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则四边形 $O A C B$ 面积的最大值为．

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四、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 2 ， 4) ， B (- 1 ， 1) ， C (3 ， 3)$ .

(1)、求边 $B C$ 的垂直平分线的方程；

(2)、求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 一条光线从点 $P (6 ， 4)$ 射出，与 $x$ 轴相交于点 $Q (2 ， 0)$ ，经 $x$ 轴反射后与 $y$ 轴交于点 $H$ .

(1)、求反射光线 $Q H$ 的方程；

(2)、求三角形 $P Q H$ 的面积.

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19. 已知 $△ A B C$ 中，点 $A (- 1 ， 5)$ ，边 $B C$ 所在直线 $l_{1}$ 的方程为 $7 x - y - 18 = 0$ ，边 $A B$ 上的中线所在直线 $l_{2}$ 的方程为 $y = x$ .

(1)、求点 $B$ 和点 $C$ 的坐标；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆为 $⊙ M$ ，求直线 $l_{2}$ 被 $⊙ M$ 截得的弦长.

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20. 在①圆 $C$ 与 $y$ 轴相切，且与 $x$ 轴正半轴相交所得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ．
②圆 $C$ 经过点 $A (4 ， 1)$ 和 $B (2 ， 3)$ ；

③圆 $C$ 与直线 $x - 2 y - 1 = 0$ 相切，且与圆 $Q ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆 $C$ 存在，求出圆 $C$ 的方程；若问题中的圆 $C$ 不存在，说明理由．

问题：是否存在圆 $C$ ， ▲ ，且圆心 $C$ 在直线 $y = \frac{1}{2} x$ 上．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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21. 已知直线 $l$ ： $x - y + 1 = 0$ 和圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ .

(1)、若直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，求弦 $A B$ 的长；

(2)、求过点 $(4 ， - 1)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程.

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22. 已知点 $A$ ， $B$ 关于原点 $O$ 对称，点 $A$ 在直线 $x + y = 0$ 上， $| A B | = 2$ ，圆 $M$ 过点 $A$ ， $B$ 且与直线 $x + 1 = 0$ 相切，设圆心 $M$ 的横坐标为 $a$ .

(1)、求圆 $M$ 的半径；

(2)、已知点 $P (0, 1)$ ，当 $a < 2$ 时，作直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，已知直线 $l$ 不经过点 $P$ ，且直线 $P M$ ， $P N$ 斜率之和为 $- 1$ ，求证：直线 $l$ 恒过定点.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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