高中数学人教A版（2019）必修一第五章三角函数

试卷更新日期：2021-08-17 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (3 ， - 4)$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $- \frac{5}{4}$

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2. 设 $α$ 为锐角，若 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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3. 设 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{\sin (α - π) + \cos (π - α)}{\sin (\frac{π}{2} - α) + \cos (\frac{π}{2} + α)} =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、3 D、2

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4. 已知 $\cos (θ - \frac{π}{4}) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，则 $\sin 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{12}{25}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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5. 已知角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 分别是 $△ A B C$ 的三个内角，且 $\cos \frac{A}{2} = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (B + C) =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $- \frac{16}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{16}{25}$

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6. 函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象经过怎样的平移可得到函数 $y = \cos 2 x$ 的图象（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、向左平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{8}$ 个单位长度

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7. 若函数 $f (x) = \tan (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $f (2) > f (0) > f (- \frac{π}{5})$ B、 $f (0) > f (2) > f (- \frac{π}{5})$ C、 $f (0) > f (- \frac{π}{5}) > f (2)$ D、 $f (- \frac{π}{5}) > f (0) > f (2)$

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8. 为了得到函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象，可作如下变换（）

A、将y＝cosx的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变而得到 B、将y＝cosx的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到 C、将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度而得到 D、将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度而得到

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二、多选题

9. 下列函数，最小正周期为 $π$ 的有（）

A、 $y = \sin | x |$ B、 $y = | \sin x |$ C、 $y = 2 \cos x - 1$ D、 $y = \sin (\frac{π}{3} - 2 x)$

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10. 在 $△ A B C$ 中，给出下列四个式子，其中为常数的是 $($ 　　 $)$

A、 $\sin (A + B) + \sin C$ B、 $\cos (A + B) + \cos C$ C、 $\sin (2 A + 2 B) + \sin 2 C$ D、 $\cos (2 A + 2 B) + \cos 2 C$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、将 $y = f (x)$ 图象上所有点向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，得到 $g (x) = \sin x - \cos x$ 的图象

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12. 设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin ω x + \frac{1}{2} \sin (ω x + \frac{π}{2}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 有且仅有3个零点，则（）

A、在 $(0 ， π)$ 上存在 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 2$ B、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 有且仅有1个最小值点 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{17}{6} ， \frac{23}{6})$

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三、填空题

13. 已知扇形面积为 $\frac{3 π}{8}$ ，半径是1，则扇形圆心角的弧度数是.

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14. 若 $\sin α + \cos α = - \frac{1}{3}$ ，则 $\sin α \cos α =$ .

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15. 函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图像向右平移 $φ$ $(0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则 $φ$ 的值为.

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四、解答题

17. 函数 $f (x) = A \sin (ω x - \frac{π}{6}) + 1$ （ $A > 0 ， ω > 0$ ）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $f (\frac{α}{2}) = 2$ ，求 $α$ 的值

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18. 已知函数 $f (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{3}) \sin x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 时，求 $f (x)$ 的取值范围.

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19. 已知 $α$ 是第三象限角， $f (α) =$ $\frac{\sin (π - α) \cdot \cos (2 π - α) \cdot \tan (- α - π)}{\tan (- α) \cdot \sin (- π - α)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $\cos (α - \frac{3}{2} π) = \frac{1}{5}$ ，求 $f (α)$ 的值；

(3)、若 $α = - 1920 °$ ，求 $f (α)$ 的值.

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20. 已知函数f（x）=2cos（x+ $\frac{π}{3}$ ）[sin（x+ $\frac{π}{3}$ ）﹣ $\sqrt{3}$ cos（x+ $\frac{π}{3}$ ）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0， $\frac{π}{6}$ ]，使得m[f（x）+ $\sqrt{3}$ ]+2=0恒成立，求实数m的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图，该图象与 $y$ 轴交于点 $A (0 ， \sqrt{3})$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ， $C$ 两点， $D$ 为图象的最高点，且 $Δ B C D$ 的面积为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及其单调递增区间；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (α) = \frac{8}{5} (\frac{π}{2} < α < π)$ ，求 $sin (α + \frac{5 π}{12})$ 的值.

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22. 给出以下四个式子：
① ${sin}^{2} 8^{0} + {cos}^{2} 22^{0} - sin 8^{0} cos 22^{0}$ ；② ${sin}^{2} 15^{0} + {cos}^{2} 15^{0} - sin 15^{0} cos 15^{0}$ ；
③ ${sin}^{2} 16^{0} + {cos}^{2} 14^{0} - sin 16^{0} cos 14^{0}$ ；④ ${sin}^{2} {(- 5)}^{0} + {cos}^{2} 35^{0} - sin {(- 5)}^{0} cos 35^{0}$ ；

(1)、已知所给各式都等于同一个常数，试从上述四个式子中任选一个，求出这个常数；

(2)、分析以上各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式正确性作出证明。

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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