云南省昆明市五华区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-08-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 根据国家铁路局统计数据，截至2020年底，我国高速铁路运营里程达37900千米，相当于在“十三五”期间翻了近一番，稳居世界第一．数据37900用科学记数法表示为（）

A、 $0.379 \times 10^{5}$ B、 $3.79 \times 10^{4}$ C、 $3.79 \times 10^{- 4}$ D、 $37.9 \times 10^{3}$

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2. 如图，两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体组成，比较两个几何体的三视图，下列说法错误的是（）

A、它们的主视图与左视图都相同 B、它们的主视图与俯视图都相同 C、它们的左视图与俯视图都相同 D、它们的视图中只有两种相同

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3. 如图，小明从点 $A$ 出发，沿直线前进8米后向左转 $60 °$ ，再沿直线前进8米，又向左转 $60 °$ ，…，照这样走下去，他第一次回到出发点 $A$ 时，走过的总路程为（）

A、48米 B、80米 C、96米 D、无限长

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4. 下列说法：①任何不为零的数的零次幂是1；②对于变形 $x - 3 x y = x (1 - 3 y)$ 和 $(x + 3) (x - 1) = x^{2} + 2 x - 3$ ，从左到右都是因式分解；③81的算术平方根是9；④在数轴上表示数2与 $\sqrt{5}$ 的两点的距离为 $2 - \sqrt{5}$ ．其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、①④ D、②③

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5. 如图所示，将 $△ C D A$ 绕边 $A C$ 的中点 $O$ 旋转 $180 °$ ．小颖发现旋转后的 $△ A B C$ 与 $△ C D A$ 构成了平行四边形，她的推理思路如下：

点 $A$ 、 $C$ 分别转到点 $C$ 、 $A$ 处，

而点 $D$ 转到点 $B$ 处．

由 $A D = C B$ ，

得四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

为保证小颖的推理更严谨，小明想在方框中“由 $A D = C B$ ，”和“得四边形……”之间作补充．应补充的是（）

A、且 $C D = A B$ B、且 $∠ C D A = ∠ A B C$ C、且 $C D / / A B$ D、且 $O C = O A$

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6. 如图所示，容器内的水面高度是 $20 cm$ ，现向该容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒 $0.4 cm$ 的速度匀速增加，则容器被注满之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）

A、正比例函数关系 B、反比例函数关系 C、一次函数关系 D、二次函数关系

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7. 若 $x + 5 > 0$ ，则（）

A、 $x + 3 < 0$ B、 $x - 3 < 0$ C、 $\frac{x}{5} < - 1$ D、 $- 2 x < 16$

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8. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成如图所示的两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下表：

平均成绩（环）

众数（环）

方差

甲

$a$

7

$c$

乙

7

$b$

4.2

表格中 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值分别是（）

A、6，7，4.2 B、7，8，4.2 C、6，8，1.2 D、7，8，1.2

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二、填空题

9. 写出绝对值小于3的一个负数．

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10. 若代数式 $\frac{5}{\sqrt{3 x + 6}}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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11. 如图，小红看到工人师傅用角尺画出工件边缘 $A B$ 的垂线 $a$ 和 $b$ ，即可得到 $a / / b$ ．请你帮小红从下列真命题中找到工人师傅画图的一个依据．真命题为：①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（选自人教版初中数学教科书七年级下册第14页例）；③在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．”这个依据是．（只需填序号）

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12. 如图，在扇形 $O A B$ 中，已知 $∠ A O B = 90 °$ ， $O A = \sqrt{3}$ ，过 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点 $C$ 作 $C D ⊥ O A$ ， $C E ⊥ O B$ ，垂足分别为 $D$ 、 $E$ ．则图中阴影部分的面积为．

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13. 如图所示，下列各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，那么图8中黑点的个数是．

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14. 在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且 $B E = \frac{3}{5} B C$ ，连接 $A E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠，点 $B$ 的对应点 $B'$ 恰好落在矩形 $A B C D$ 的边上．若 $A B = 1$ ，则 $B C =$ ．

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三、解答题

15. 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}$

$= \frac{(x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$ 第一步

$= \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$ 第二步

$= \frac{2 (x - 3)}{2 (x + 3)} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)}$ 第三步

$= \frac{2 x - 6 - (2 x + 1)}{2 (x + 3)}$ 第四步

$= \frac{2 x - 6 - 2 x + 1}{2 (x + 3)}$ 第五步

$= - \frac{5}{2 x + 6}$ 第六步

任务一填空在以上化简步骤中，其中有一步是根据分式的基本性质：“分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，”对分式进行通分．这是第 ▲ 步；

任务二订正请写出该分式化简的正确过程；

任务三求值当 $x = {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ 时，求该分式的值．

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16. 人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：

已知： $∠ A O B$

求作： $∠ A O B$ 的平分线

作法：⑴以点 $O$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $O A$ 于点 $M$ ，交 $O B$ 于点 $N$ ；

⑵分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A O B$ 的内部相交于点 $C$ ；

⑶画射线 $O C$ ，射线 $O C$ 即为所求．

连接 $M C$ ， $N C$ ，请你根据上述作法，证明射线 $O C$ 为 $∠ A O B$ 的平分线．

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17. 2021年3月12日是第43个植树节，为进一步提高学生的环保意识，生态意识，某初中学校组织全校1200名学生参加了“绿水青山在身边，爱绿护绿我能行”知识竞赛活动．为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．

(1)、学校设计了以下三种抽样调查方案：

方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；

方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；

方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．

你认为以上三个方案中，抽取的样本具有公平性的方案是哪一个？

(2)、学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：

样本容量	平均分	及格率	优秀率	最高分	最低分
100	93.5	$100 %$	$70 %$	100	80
分数段统计（学生成绩记为 $x$ ）
分数段	$0 \leq x < 80$	$80 \leq x < 85$	$85 \leq x < 90$	$90 \leq x < 95$	$95 \leq x \leq 100$
频数	0	5	25	30	40

请结合表中信息解答下列问题：

①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；

②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．

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18. 今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．

(1)、求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；

(2)、某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．

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19. 如图所示，甲、乙两人（看成点）分别在数轴-3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动的游戏规则是：两人先猜裁判所抛硬币向上一面的正反，再根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；

②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；

③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．

(1)、用树状图（树状图也称树形图）或列表法中的一种方法，求每次移动游戏中甲猜对的概率 $P$ 的值；

(2)、直接写出经过第一次移动游戏后，甲乙两人相距6个单位的概率．

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20. 如图所示， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ， $A D$ 经过圆心 $O$ ，交 $⊙ O$ 于点 $C$ 、 $D$ ， $E$ 是 $\overset{⌢}{B C D}$ 上不与 $B$ ， $D$ 重合的点， $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求 $∠ B E D$ 的大小；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为4，点 $F$ 在 $A B$ 的延长线上，且 $B F = 4 \sqrt{3}$ ，求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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21. 在 $△ A B C$ 中， $B C$ 边的长为 $x$ ， $B C$ 边上的高的长为 $y$ ， $△ A B C$ 的面积为2．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并直接写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、在同一平面坐标系中，将直线 $y = - x + 5$ 向下平移 $a (a > 0)$ 个单位长度，使其与（1）中函数图象有且只有一个交点，请求出此时 $a$ 的值．

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22. 如图所示，菱形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $E$ 是 $A B$ 边上的动点（不与点 $A$ 、 $B$ 重合），线段 $C E$ 的垂直平分线 $F G$ 分别交 $B D$ ， $C E$ 于点 $F$ ， $G$ ； $A E$ ， $E F$ 的中点分别为点 $M$ ， $N$ ．

(1)、求证： $A F = E F$ ；

(2)、求 $M N + N G$ 的最小值；

(3)、在点 $E$ 的运动过程中， $∠ C E F$ 的大小是否变化？若没有变化，请直接写出 $∠ C E F$ 的度数；若有变化，请说明变化情况．

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23. 如图所示，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4 (a \neq 0)$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ．点 $M$ 是线段 $O B$ 上不与点 $O$ 、 $B$ 重合的点，过点 $M$ 作 $D M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ ，垂足为点 $F$ ．设 $M$ 点的坐标为 $M (m ， 0)$ ，请用含 $m$ 的代数式表示线段 $D F$ 的长，并求出当 $m$ 为何值时 $D F$ 有最大值，最大值是多少？

(3)、试探究是否存在这样的点 $E$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $E$ 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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	平均成绩（环）	众数（环）	方差
甲	$a$	7	$c$
乙	7	$b$	4.2