吉林省长春市双阳区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-08-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 比-1小3的数是（）

A、 $- 2$ B、2 C、4 D、 $- 4$

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2. 2020年长春市双阳区体育场升级改造，旨在提升全民文化体育生活质量，体育场改造后总面积约为23800平方米，则23800用科学记数法表示为（）

A、 $2.38 \times 10^{3}$ B、 $2.38 \times 10^{4}$ C、 $23.8 \times 10^{3}$ D、 $2.3 \times 10^{5}$

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3. 下列几何体的三视图中，主视图是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 不等式 $4 x + 12 \geq 0$ 的解集在数轴上表示正确的为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”题：有三人共车，二空；二人共车，九人步，问人与车共几何？其大意是：每车坐三人，两车空出来；每车坐两人，多出九人无车坐．问人数和车数各多少？设车 $x$ 辆，人 $y$ 个，根据题意，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} y = 3 x - 2 \\ y = 2 x + 9 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = 3 (x - 2) \\ y = 2 x + 9 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y = \frac{x}{3} + 2 \\ y = \frac{x}{2} - 9 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = 3 (x - 2) \\ y = 2 (x + 9) \end{array}$

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6. 某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图，他们在距离楼房35米的 $C$ 处测得楼顶的仰角为 $α$ ，则楼房 $A B$ 的高为（）

A、 $35 \sin α$ 米 B、 $35 \tan α$ 米 C、 $\frac{35}{\tan α}$ 米 D、 $\frac{35}{\sin α}$ 米

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D A$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ， $D O$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $B C$ ，若 $∠ D = 40 °$ ，则∠ABC为（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $40 °$ D、 $50 °$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A D$ 上，点 $F$ 在 $B C$ 上，把这个矩形沿 $E F$ 折叠后，使点 $D$ 恰好落在点 $B$ 处，若 $A B = \sqrt{3}$ ， $∠ A E B = 60 °$ ，则折痕 $E F$ 的长为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

9. 分解因式： $a b - a^{2}$ = ．

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10. 一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 6 = 0$ 根的判别式的值为．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 和 $B$ 的坐标分别为 $(2 ， 0)$ ， $(0 ， - 4)$ ，若将线段 $A B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A C$ ，则点 $C$ 的坐标为．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画弧交 $A C$ 于点 $C$ 和点 $D$ ，再分别以点 $C$ 和点 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} D C$ 长为半径画弧，两弧相交于点 $F$ ，作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．若 $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ E B C =$ 度．

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13. 如图，直线 $y = 2 x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x > 0$ ）的图象交于点 $C$ ．过点 $C$ 作 $C D ⊥ x$ 轴，垂足为点 $D$ ，若 $B O = 2 O D$ ，则 $k$ 的值为．

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14. 如图，正方形 $O A B C$ 的顶点 $B$ 在抛物线 $y = x^{2}$ 的第一象限的图象上，若点 $B$ 的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线 $A C$ 的长为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $a (a - 2 b) + (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2}$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = 3$ ．

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16. “绿水青山就是金山银山”，为了创造良好的生态环境，某村承接了60万平方米的荒山绿化任务，由于志愿者的加入，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前10天完成了这一任务．求原计划每天绿化的面积．

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17. 在一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别标有汉字“诚”，“实”，“守”，“信”，卡片除了汉字不同外其余都相同，先随机抽取一张卡片后不放回，然后再随机抽取一张，用画树状图或列表的方法求两次抽到卡片上的汉字组成“诚信”的概率．

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18. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，过点 $A$ 作 $A E // B C$ ，过点 $D$ 作 $D E // A B$ ， $D E$ 与 $A C$ 、 $A E$ 分别交于点 $F$ ， $E$ ，连接 $E C$ ．

(1)、求证： $A E = D C$ ．

(2)、当 $D E$ 平分 $∠ A D C$ 时，求证：四边形 $A D C E$ 是菱形．

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19. 如图，在 $6 \times 6$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，线段 $A B$ 的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图．（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）

(1)、在图1中，画出一个以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为顶点的三角形，且这个三角形的面积为6， $C$ 为格点．

(2)、在图2中，画出一个以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为顶点的三角形，且 $\cos ∠ B A C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $C$ 为格点．

(3)、在图3中，画出一个既是中心对称，又是轴对称，且以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ， $D$ 为顶点的四边形，其邻边之比为 $\frac{1}{2}$ ， $C$ ， $D$ 为格点．

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20. 为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校1500名学生参加的“汉字书写”比赛，为了解本次比赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩

x

取整数，总分100分）作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：

频数频率分布表

成绩 $x$ （分）	频数（人）	频率
$50 \leq x < 60$	10	0.05
$60 \leq x < 70$	35	$a$
$70 \leq x < 80$	60	0.30
$80 \leq x < 90$	$b$	0.375
$90 \leq x \leq 100$	20	0.10

频数分布直方图

根据所给信息，解答下列问题：

(1)、

a =

，

b =

．

(2)、补全频数分布直方图．

(3)、这200名学生成绩的中位数会落在分数段．

(4)、若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的1500名学生中成绩是“优”等的约有多少人？

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21. 已知 $M$ 、 $N$ 两地之间有一条240千米长的公路，甲乙两车同时出发，乙车以40千米/时的速度从 $M$ 地匀速开往 $N$ 地，甲车从 $N$ 地沿此公路匀速驶往 $M$ 地，两车分别到达目的地后停止，甲乙两车相距的路程 $y$ （千米）与乙车行驶的时间 $x$ （时）之间的函数关系如图所示．

(1)、甲车速度为千米/时．

(2)、求甲乙两车相遇后的 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

(3)、当甲车与乙车相距的路程为140千米时，请直接写出乙车行驶的时间．

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22.

(1)、（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容．
如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A B$ 的四等分点， $D E // A C$ ， $D F // B C$ ， $A C = 8$ ， $B C = 12$ ．求四边形 $D E C F$ 的周长．

(2)、问题探究
如图2，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上的一点，过点 $D$ 作 $D F // A B$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D E // A C$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，延长 $C A$ 至 $H$ ，使 $A H = A F$ ，连结 $D H$ 交 $A B$ 于 $G$ ．若 $\frac{C F}{A F} = \frac{3}{2}$ ． $△ A H G$ 的面积为2，则 $△ E D B$ 的面积为．

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上的一点，且 $\frac{B D}{D C} = \frac{4}{3}$ ，连结 $A D$ ，点 $E$ 为 $A C$ 上一点，连结 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $F$ 为 $A D$ 的中点， $△ A E F$ 的面积为 $m$ ，则 $△ F D B$ 的面积为．（用含 $m$ 的代数式表示）

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 是 $A B$ 中点，连结 $C D$ ．动点 $P$ 从点 $C$ 出发沿折线 $C D - D B$ 方向以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，过点 $P$ 作 $P E ⊥ A C$ ，垂足为点 $E$ ，以 $P E$ ， $P D$ 为邻边作平行四边形 $P D F E$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ （秒）．

(1)、CD= ．

(2)、当点 $P$ 在 $B D$ 上时，求 $P E$ 的长度（用含 $t$ 的代数式表示）

(3)、当平行四边形 $P D F E$ 与 $△ A C D$ 重合部分图形的面积为 $S$ 时，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式．

(4)、当点 $F$ 落在 $△ A B C$ 的某个内角平分线上时请直接写出 $t$ 的值．

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24. 在平面直角坐标系中，点 $P (1 ， 2 - b)$ 在抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ 上，将这条抛物线在点 $P$ 的右侧的部分沿直线 $y = 2 - b$ 翻折，翻折后的图象与原抛物线剩余部分合称为图象 $G$ ．

(1)、c= ．

(2)、当 $b = - 2$ 时
①求图象 $G$ 与 $x$ 轴交点坐标．

②当 $n \leq x \leq n + 1$ 时，图象 $G$ 对应函数的最小值为5，求 $n$ 的值．

(3)、若点 $A (- 2 b ， 2)$ ，点 $B (\frac{1}{3} b ， 2)$ ．
①线段 $A B$ 与图象 $G$ 只有一个交点时，直接写出 $b$ 的取值范围．

②当 $- \frac{6}{5} < b < 0$ 时，请直接写出当 $△ A B P$ 有两边相等时 $b$ 的值．

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