吉林省松原市乾安县2021年中考数学模拟试卷

试卷更新日期：2021-08-17 类型：中考模拟

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一、单选题

1. ﹣2的绝对值是（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 太阳距离银河系中心约为250 000 000 000 000 000公里，其中数据250 000 000 000 000 000用科学记数法表示为（）

A、 $0.25 \times 10^{18}$ B、 $2.5 \times 10^{17}$ C、 $25 \times 10^{16}$ D、 $2.5 \times 10^{16}$

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4. 计算a⁶÷a³,正确的结果是（）

A、2 B、3a C、a² D、a³

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5. 已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（）

A、60° B、65° C、70° D、75°

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6. 如图，已知正五边形 ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）

A、60° B、70° C、72° D、144°

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二、填空题

7. 因式分解： $1 - x^{2} =$ .

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8. 在x²+（）+4=0的括号中添加一个关于 $x$ 的一次项，使方程有两个相等的实数根.

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9. 不等式组 ${\begin{cases} x + 2 > 3 \\ \frac{x - 1}{2} \leq 4 \end{cases}$ 的解为．

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10. 如图， $a ， b$ 是两根木条，用 $A ， B$ 两根钉子钉在墙上，其中木条 $a$ 可以绕点 $A$ 转动，木条 $b$ 被固定不动．这一生活现象用你学过的数学知识解释为．

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11. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 3 ， A B = 5 ， A D ⊥ A C$ ．若 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B ， A C$ 于点 $E ，$ 点 $F$ ，则 $F C + F B =$ ．

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12. 如图，已知李明的身高为1.8m，他在路灯下的影长为2m，李明距路灯杆底部为3m，则路灯灯泡距地面的高度为m；

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13. 图①中特种自行车的轮子形状为“勒络三角形”，图②是其一个轮子的示意图，“勒络三角形”是分别以等边三角形 $A B C$ 三个顶点 $A ， B ， C$ 为圆心，以边长为半径的三段弧围成的图形、若这个等边三角形 $A B C$ 的边长为 $30 c m ，$ 则这种自行车一个轮子的周长为 $c m$ ．

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14. 如图1，矩形纸片 $A B C D ， A B = a ， B C = b ，$ 满足 $\frac{1}{2} b < a < b$ ．将此矩形纸片按下列顺序折叠，则图4中 $M N$ 的长为（用含 $a ， b$ 的代数式表示）．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $(a + 3) (a - 3) + 2 (a^{2} + 4) ，$ 其中 $a = \sqrt{3}$ ．

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16. 糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？

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17. 防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求.某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园.

(1)、小明从A测温通道通过的概率是；

(2)、利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率.

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18. 如图，在矩形 ABCD中，点 E，F 在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．

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19. 图①，图②，图③都是由 $12$ 个全等的小矩形构成的网格，每个小矩形较短的边长为 $1 ，$ 每个小矩形的顶点称为格点．线段 $A B$ 的端点在格点上．

(1)、在图①中画 $∠ A B C = 45^{\circ} ，$ 使点 $C$ 在格点上；

(2)、在图②中以 $A B$ 为边画一个面积为 $5$ 的平行四边形，且另外两个顶点在格点上；

(3)、在图③中以 $A B$ 为边画一个面积最大的平行四边形，且另外两个顶点在格点上．

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20. 在“新冠肺炎防控”知识宣传活动中，某社区对居民掌握新冠肺炎防控知识的情况进行调查．其中

A

、

B

两区分别有500名居民，社区从中各随机抽取50名居民进行相关知识测试，并将成绩进行整理得到部分信息：

（信息一） $A$ 小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；

（信息二）图中， $A$ 小区从左往右第四组的成绩如下

75	75	79	79	79	79	80	80
81	82	82	83	83	84	84	84

（信息三） $A$ 、 $B$ 两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：

小区	平均数	中位数	众数	优秀率	方差
$A$	75.1		79	$40 %$	277
$B$	75.1	77	76	$45 %$	211

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、求

A

小区50名居民成绩的中位数；

(2)、请估计

A

小区500名居民中能超过平均数的有多少人？

(3)、请尽量从多个角度比较、分析

A

，

B

两小区居民掌握新冠防控知识的情况．

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21. 李老师为了准备网课直播，购买了一个三脚架，如图①所示，图②为其截面示意图．测得 $O C = O D = 60 c m ，$ $A O = 100 c m ，$ $∠ C O B = ∠ D O B = 32^{\circ}$ ．求点 $A$ 到地面 $C D$ 的高度（结果精确到 $1 c m$ ）．
（参考数据： $s i n 32 ° \approx 0.53 ， c o s 32 ° \approx 0.85 ， t a n 32 ° \approx 0.62$ ．）

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22. 如图，在平面直角坐标系中，正六边 $A B C D E F$ 的对称中心 $P$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，边 $C D$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上．已知 $C D = 2$ ．

(1)、点 $A$ 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由．

(2)、若该反比例函数图象与 $D E$ 交于点 $Q$ ．求点 $Q$ 的横坐标．

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23. 在抗击“新冠肺炎”疫情期间，需要印刷一批宣传单．某印刷厂由甲、乙两台机器同时印刷，甲机器印刷一段时间后，出现故障，停下来维修，排除故障后继续以原来的速度印刷．两台机器还需印刷总量 $y$ （份）与印刷时间 $x$ （分钟）的函数关系如图所示．

(1)、甲机器维修的时间是分钟，甲乙两台机器一分钟共印宣传单份；

(2)、求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

(3)、若甲机器没有发生故障，可提前多少分钟印刷完这批宣传单．

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24.

(1)、如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P．
（观察猜想）

①AE与BD的数量关系是 ▲ ；

②∠APD的度数为 ▲ ．

(2)、（数学思考）
如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出符合题意结论再给予证明；

(3)、（拓展应用）
如图3，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，对角线AC、BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为．

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25. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ cm， $B C = 5$ cm，点 $D$ 在 $B C$ 上，且 $C D = 3$ cm．动点 $P$ ， $Q$ 同时从点 $C$ 出发，均以1cm/s的速度运动，其中点 $P$ 沿 $C A$ 向终点 $A$ 运动：点 $Q$ 沿 $C B$ 向终点 $B$ 运动．过点 $P$ 作 $P E // B C$ ，分别交 $A D$ 、 $A B$ 于点 $E$ 、 $F$ ，设动点 $Q$ 运动的时间为 $t$ 秒．

(1)、求 $D Q$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）；

(2)、以点 $Q$ 、 $D$ 、 $F$ 、 $E$ 为顶点围成的图形面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式．

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26. 已知函数 $y_{1} = 2 k x + k$ 与函数 $y_{2} = x^{2} - 2 x + 3$ ，定义新函数 $y = y_{2} - y_{1}$ ．

(1)、若 $k = 2$ ，则新函数 $y =$ ；

(2)、若新函数 $y$ 的解析式为 $y = x^{2} + b x - 2$ ，则 $k =$ ， $b =$ ；

(3)、设新函数 $y$ 顶点为 $(m ， n)$ ．
①当 $k$ 为何值时， $n$ 有大值，并求出最大值；

②求 $n$ 与 $m$ 的函数解析式．

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