黑龙江省大庆二高2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-17 类型：期末考试

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一、选择题（60分）

1. 如果向量 $\vec{a} = (0 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，那么 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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2. 如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中，斜边 $| \vec{B C} | = 6$ ，且DC=2BD，点 $P$ 是线段 $A D$ 上任一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C P}$ 的取值范围是（）

A、 $[0，4]$ B、 $[- \frac{9}{10} ， 4]$ C、 $[0 ， \frac{9}{10}]$ D、 $[- \frac{9}{10} ， + \infty)$

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3. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a $= \sqrt{3}$ ，则 $\frac{b + c}{sin B + sin C}$ 等于（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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4. 若z=1+i，则|z²–2z|=（）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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5. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = \frac{1 - t i}{1 + i}$ 在复平面内对应的点在第四象限，则 $t$ 的取值范围为

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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6. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

A、①是棱台 B、②是圆台 C、③是四面体 D、④不是棱柱

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7. 已知 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = 2, A B ⊥ A C$ ，将 $Δ A B C$ 绕 $B C$ 所在直线旋转一周，形成几何体 $K$ ,则几何体 $K$ 的表面积为（）

A、 $2 \sqrt{2} π$ B、 $4 \sqrt{2} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2} π}{3}$

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8. 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PM＝tPC，PA∥平面MQB，则实数t的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童 $A B C D - E F G H$ 有外接球，且 $A B = 2 \sqrt{6}$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $E H = \sqrt{15}$ ， $E F = \sqrt{5}$ ，平面 $A B C D$ 与平面 $E F G H$ 间的距离为1，则该刍童外接球的体积为

A、 $12 π$ B、 $24 π$ C、 $36 π$ D、 $48 π$

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10. 从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，……，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为（注：表为随机数表的第1行与第2行）

A、24 B、36 C、46 D、47

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11. 以下关于正弦定理或其变形正确的有（　　）

A、在△ABC中，a：b：c＝sin A：sin B：sin C B、在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b C、在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立 D、在△ABC中， $\frac{a}{\sin A} = \frac{b + c}{\sin B + \sin C}$

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12. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若m⊥α，n⊥α，则m∥n B、若m∥n，m∥α，则n∥α C、若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线 D、若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线

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二、填空题（20分）

13. 已知 $x$ 、 $y \in R$ ，i为虚数单位，且 $(x - 2) + y i = - 1 + i$ ，则 $x + y =$ ．

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14. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ P B A = ∠ P C A = 90 °$ ，点 $P$ 到底面 $A B C$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，若三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为 $6 π$ ，则 $A C$ 的长为.

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15. 复数 $| \frac{2}{i + 1} | =$ .

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16. 某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取名志愿者．

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三、解答题（70分）

17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = 60^{\circ}$ ， $\overset{⇀}{D B} = 2 \overset{⇀}{A D}$ ， $\overset{⇀}{C E} = 2 \overset{⇀}{E B}$ .

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、求 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{D E}$ 的值．

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18. 在① $a = \sqrt{3} c \sin A - a \cos C$ ，② $(2 a - b) \sin A + (2 b - a) \sin B = 2 c \sin C$ 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知 $△ A B C$ 的角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边分别为 $a, b, c$ ， $c = \sqrt{3}$ ，而且______．

(1)、求 $∠ C$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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19. 已知：复数 $z = {(1 + i)}^{2} + \frac{2 i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位．

(1)、求 $z$ 及 $| z |$ ；

(2)、若 $z^{2} + a \bar{z} + b = 2 + 3 i$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值．

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20. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点.

(1)、求证：EF∥平面PBC；

(2)、求证：平面PBD⊥平面PAC．

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21. 如图所示，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = A D = 1$ ， $B C = 2$ ， $P B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P B = 1$ .

(1)、求证： $C D ⊥ P D$ ；

(2)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的表面积.

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22. 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中（底面△ABC为正三角形），A₁A⊥平面ABC，AB=AC=2， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，D是BC边的中点．

(1)、证明：平面ADB₁⊥平面BB₁C₁C．

(2)、求点B到平面ADB₁的距离．

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