高中数学人教A版（2019）必修一第三章函数概念与性质

试卷更新日期：2021-08-17 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 若 $f (x) = \frac{1}{\lg (2 x + 1)}$ ，则 $f (x)$ 的定义域为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{2}, 0]$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \frac{1}{2}, 0) \cup (0 ， + \infty)$

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2. 下列函数既是定义域上的偶函数，又是 $(0 ， + \infty)$ 上增函数的是（）

A、 $y = - \frac{1}{| x |}$ B、 $y = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$ C、 $y = | x - 1 |$ D、 $y = | \ln x |$

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3. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} + m x + 2$ ，且 $f (1) = - 2$ ，则 $f (2)$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、0 C、4 D、2

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4. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty ， 0)$ ，均有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$
成立，若 $a = f (\sqrt{2}) ， b = f (3^{\frac{1}{3}}) ， c = f (e^{\frac{1}{3}})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

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5. 已知函数 $y = \ln (x^{2} - a x + 3 a)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- 4 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 4]$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $(- 4 ， 4]$

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6. 已知幂函数 $f (x) = (a - 1) x^{n}$ 的图象过点 $(2, 8)$ ，且 $f (b - 2) < f (1 - 2 b)$ ，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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7. 函数 $f (x) = | x | (e^{x} - e^{- x})$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 设函数 $f (x)$ =ln（ $| x |$ +1），则使得 $f (x)$ ＞ $f$ （ $2 x$ -1）的 $x$ 的取值范围是（）

A、（-∞，1） B、（ $\frac{1}{3} ，＋ \infty ）$ C、（-∞， $\frac{1}{3}$ ）∪（1，＋∞） D、（ $\frac{1}{3} ， 1$ ）

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二、多选题

9. 下列函数 $f (x) ， g (x)$ 表示相同函数的是（）

A、 $f (x) = 2^{x} ， g (x) = \log_{2} x$ B、 $f (x) = | x | ， g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $y = x ， y = \sqrt[3]{x^{3}}$ D、 $f (x) = 2 \lg x ， g (x) = \lg (2 x)$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln x | ， x > 0 \\ - x^{2} + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若存在 $a < b < c$ ，使得 $f (a) = f (b) = f (c)$ 成立，则（）

A、 $b c = 1$ B、 $b + c = 1$ C、 $a + b + c > 1$ D、 $a b c < - 1$

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11. 已知函数 $f (x) = [x]$ （ $[x]$ 指不超过 $x$ 的最大整数），下列说法正确的是（）

A、 $x - 1 < f (x) \leq x$ B、 $f (x)$ 为增函数 C、 $f (x)$ 为奇函数 D、 $y = x - f (x)$ 的值域为 $[0, 1)$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a - 1) x + a$ ，若对于区间 $[- 1, 2]$ 上的任意两个不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围可以是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, 3]$ C、 $[- 1, 2]$ D、 $[3, + \infty)$

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三、填空题

13. 已知 $x \in [0, \frac{1}{3}]$ ，则函数 $g (x) = x + \sqrt{1 - 3 x}$ 的值域为．

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14. 设函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，在 $(0 ， + \infty)$ 上对任意实数 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) > 0$ 成立，又 $f (- 3) = 0$ ，则 $(x - 1) f (x) < 0$ 的解是.

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15. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x，有f(1-x)=f(1+x)，当x≤1时， $f (x) = e^{x} + x$ ，则不等式 $f (2 x - 1) \geq f (x + 1)$ 的解集为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x}, x > 0 \\ a x + 3 a - 8, x \leq 0 \end{array}$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的增函数，那么实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = a^{x} + \frac{b - 1}{a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是奇函数．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、令函数 $g (x) = f (x) - a^{x} - 1$ ，若关于 $x$ 的方程 $g (x) = \frac{t + 2}{t + 3}$ 在 $R$ 上有解，求实数 $t$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - a x + 2), a \in R$ ．

(1)、当 $f (x)$ 是偶函数时，求a的值并求函数的值域．

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 3]$ 上单调递增，求实数a的取值范围．

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19. 函数 $f (x) = \frac{a x - b}{9 - x^{2}}$ 是定义在 $(- 3 ， 3)$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{8}$ ．

(1)、确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 3 ， 3)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (t - 1) + f (2 t) < 0$ ．

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20. 已知定义域为 $R$ 的单调减函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{3} - 2^{x}$ ．

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若存在 $t \in R$ ，使得不等式 $f (t^{2} - 2 t) + f (2 t^{2} - k) < 0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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21. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产 $x$ 千件，需另投入成本为 $C (x)$ ，当年产量不足80千件时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 20 x$ (万元).当年产量不小于 $80$ 千件时， $C (x) = 51 x + \frac{10000}{x} - 600$ (万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

(1)、写出年利润 $L (x)$ (万元)关于年产量 $x$ (千件)的函数解析式；

(2)、当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知 $f (x) = \frac{2^{x} + a}{2^{x} + 1} (a \in R)$ 为R上的奇函数．

(1)、求实数a的值：

(2)、 $g (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + b (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ ， $b \in R$ ．若对任意的 $x_{1} \in [0, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $g (x_{1}) = 3 f (x_{2})$ 成立，求实数b的取值范围．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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