山东省德州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ y = \sqrt{x - 2}}$ ， $B = {x ∣ \ln x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2 ， e)$ B、 $[2 ， e)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $\emptyset$

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2. 命题“ $\exists x > 0$ ， $\frac{x}{x^{2} + 1} > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $\frac{x}{x^{2} + 1} > 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $\frac{x}{x^{2} + 1} < 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $\frac{x}{x^{2} + 1} \leq 0$ D、 $\exists x > 0$ ， $\frac{x}{x^{2} + 1} \leq 0$

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3. 已知 $a > 0 > b$ 且 $a^{2} > b^{2}$ ，那么下列不等式中，成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{3} < a b^{2}$ C、 $a^{2} b < b^{3}$ D、 $a + b < 0$

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2}$ ， $a_{10}$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ 的两根，则 $\frac{a_{3} a_{9}}{a_{6}} =$ （）

A、2 B、-2 C、-2或2 D、 $3 \pm \sqrt{5}$

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5. 设函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、 $f (x - 1) - 1$ B、 $f (x - 1) + 1$ C、 $f (x + 1) - 1$ D、 $f (x + 1) + 1$

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6. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 3$ ，则 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、1 B、3 C、 $\frac{3}{2}$ D、9

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7. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{e^{x} - 1}) \cdot \sin x$ B、 $f (x) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{e^{x} - 1}) \cdot | \cos x |$ C、 $f (x) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{e^{x} - 1}) \cdot \cos x$ D、 $f (x) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{e^{x} - 1}) \cdot | \sin x |$

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8. 设 $f^{'} (x)$ 为奇函数 $f (x) (x \in R)$ 的导函数， $f (- 2) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - 3 f (x) < 0$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的 $x$ 取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \log_{2} (x - 1) ， x > 1 \\ 2^{x} ， x \leq 1 \end{matrix}$ ，则下面结论成立的是（）

A、 $f (2) = 4$ B、 $f (f (\frac{3}{2})) = \frac{1}{2}$ C、 $f (f (1)) = 0$ D、若 $f (a) = 2$ ，则 $a = 1$

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10. 已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = - f (x)$ ，且 $f (x) = x^{2} - x (0 < x \leq 1)$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $f (\frac{23}{2}) = - \frac{1}{4}$ B、 $f (- 1 - x) = f (x)$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ 上是单调函数

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11. “斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引人，故又称该数列为“兔子数列”，它在现代物理、准晶体结构、化学.等领域都有直接的应用.斐波那契数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3 ， n \in N *)$ ，记其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $S_{8} = 54$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + \dots + a_{2019} = a_{2020}$ C、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + \dots + a_{2020} = a_{2021}$ D、 $S_{2020} + S_{2019} - S_{2018} - S_{2017} = a_{2022}$

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12. 我们把有限集合 $A$ 中的元素个数用 $card (A)$ 来表示，并规定 $card (\emptyset) = 0$ ，例如 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $card (A) = 3$ .现在，我们定义 $A * B = {\begin{array}{l} card (A) - card (B) ， card (A) \geq card (B) \\ card (B) - card (A) ， card (A) < card (B) \end{array}$ ，已知集合 $A = {x | e^{x} + x^{2} - 2 = 0}$ ， $B = {x | (\ln x - a x) (x^{2} - a e x + 1) = 0}$ ，且 $A * B = 1$ ，则实数 $a$ 不可能在以下哪个范围内（）

A、 $(- \frac{2}{e} ， - \frac{1}{e})$ B、 $(0 ， \frac{1}{e})$ C、 $(\frac{1}{e} ， \frac{2}{e})$ D、 $(\frac{2}{e} ， + \infty)$

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三、填空题

13. 不等式 $| 2 x - 1 | < a$ 的解集为 $(0 ， 1)$ ，则方程 $x^{2} - (2 a - 1) x - 2 = 0$ 的两根之和为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{4}) \cos x - \sin x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{4}) =$ .

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15. 已知不等式 $(4 x + y) (\frac{1}{x} + \frac{a}{y}) \geq 9$ 对任意正实数 $x$ ， $y$ 恒成立，则正实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第 $i$ 行，第 $j$ 列的数记为 $a_{i ， j}$ ，例如 $a_{3 ， 2} = 9$ ， $a_{4 ， 2} = 15$ ， $a_{5 ， 4} = 23$ ，由此可得 $a_{8 ， 5} =$ ，若 $a_{i ， j} = 2021$ ，则 $i - j =$ .

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x ∣ \frac{x - 3}{2 - x} > 0}$ ， $B = {x ∣ 2 m < x < m + 3}$ .

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、请在①充分不必要条件 ②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决问题.若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的 ▲ 条件，试判断 $m$ 是否存在，若存在，求出 $m$ 的取值范围，若不存在，说明理由.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{matrix} a_{n} + 2 ， n 奇数 \\ a_{n} + 1 ， n 偶数 \end{matrix}$ .

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n}$ ，写出 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ，并求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前10项和.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{x} - a x^{2} - 4 a x$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、已知函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处有极值，求函数的单调递增区间.

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20. 科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础.某科技企业2020年最新研发了一款电子设备，通过市场分析，生产此类设备每年需要投人固定成本200万，每生产 $x$ （百台）电子设备，需另投人成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 30 x + 150 ， & (10 < x < 64) \\ 72 x + \frac{1800}{x - 60} - 920 ， & (64 \leq x < 120) \end{array}$ ，由市场调研可知，每台设备售价 $0.7$ 万元，且生产的设备当年能全部售完.

(1)、求出2020年的利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百台）的函数关系式，（利润=销售额一成本）；

(2)、2020年产量为多少百台时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(S_{n} + 2) (S_{n + 1} + 2)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{6}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{2 - a}{x} - 1 - a (a \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) > 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值.

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