辽宁省锦州市2020-2021学年八年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若分式 $\frac{x}{x + 3}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x > - 3$ B、 $x < - 3$ C、 $x \neq - 3$ D、 $x \neq 0$

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3. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）

A、 $2 a^{2} - 2 a + 1 = 2 a (a - 1) + 1$ B、 $x^{2} - 6 x + 5 = (x - 1) (x - 5)$ C、 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ D、 $x^{2} + x = x^{2} (1 + \frac{1}{x})$

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4. 如图，E是 $▱ A B C D$ 边 $A D$ 的中点， $C D$ ， $B E$ 的延长线交于点F， $D F = 4$ ， $D E = 3$ ，则 $▱ A B C D$ 的周长为（）

A、20 B、18 C、14 D、10

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5. 在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，点E在 $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ 上， $A E = B E = B C$ ， $∠ D = 105 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、35° B、30° C、25° D、20°

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点D在边 $A C$ 上， $A D = A B$ ， $A E ⊥ B D$ ，垂足为点F，交 $B C$ 于点E，则 $B E$ 的长为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 如图，在平面直角坐标系中， $▱ A O B C$ 的顶点O与原点重合，顶点B在x轴正半轴上，顶点A的坐标为 $(- 1 ， 2)$ ．按以下步骤作图：先以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交边 $O A$ ， $O B$ 于点D，E；再分别以点D，E为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 内交于点F，作射线 $O F$ 交 $A C$ 边于点G．则点G的坐标为（）

A、 $(3 - \sqrt{5} ， 2)$ B、 $(\sqrt{5} ， 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 2 ， 2)$ D、 $(\sqrt{5} - 1 ， 2)$

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8. 如图，在 $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 中， $O 4 = O B$ ， $O C = O D$ （ $O A < O C$ ）， $∠ A O B = ∠ C O D = α$ ．直线 $A C$ ， $B D$ 交于点M，连接 $O M$ ．下列结论：① $A C = B D$ ，② $∠ O A M = ∠ O B M$ ，③ $∠ A M B = α$ ，④ $O M$ 平分 $∠ B O C$ ，其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

9. 因式分解：3x³﹣12x= ．

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10. 如图，这个正六边形是由 $R t △ A B C$ 绕点O经过多次旋转变换得到，则 $∠ A B C =$ ．

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11. 如图， $△ A B C$ 沿BC所在直线向右平移得 $△ D E F$ ，已知 $E C = 2$ ， $B F = 8$ ，则平移的距离为．

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12. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象分别与x轴，y轴交于点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 5)$ ，则不等式 $k x + b \leq 0$ 的解集为．

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13. 若一元一次方程 $3 x - m + 1 = 2 x - 1$ 的解不大于0，则满足条件的正整数m的值是．

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14. 我国元代数学家朱世杰的著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：用6210文钱请人代买一批椽．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则正确的方程是．

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $A C = 5 \sqrt{2}$ ， $∠ B A D = ∠ B C D = 90 °$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 各顶点的坐标分别为 $A (0 ， 1)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ， $C (1 ， - 1)$ ，点 $P (2 ， 0)$ 绕点A旋转180°得到点 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 绕点B旋转180°得到点 $P_{2}$ ，点 $P_{2}$ 绕点C旋转180°得到点 $P_{3}$ ，点 $P_{3}$ 绕点A旋转180°得到点 $P_{4}$ ，…，按此规律继续作下去，则点 $P_{2021}$ 的坐标为．

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17. 不等式组 ${\begin{matrix} 3 (x - 1) < 5 x + 2 \\ \frac{x - 2}{2} \leq 7 - \frac{3}{2} x \end{matrix}$ 的解集为．

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三、解答题

18. 解方程： $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{3}{x (x - 2)}$ ．

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19. 已知a+b=2，求（ $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ ）• $\frac{a b}{{(a - b)}^{2} + 4 a b}$ 的值．

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20. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 各顶点的坐标分别为 $A (- 3 ， 4)$ ， $B (- 5 ， 2)$ ， $C (- 2 ， 1)$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于原点O对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标；

(2)、若 $△ A B C$ 经过平移变换后得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，且点 $A_{2}$ 的坐标为 $(2 ， 6)$ ，请画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $C_{2}$ 的坐标；

(3)、若 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于点P成中心对称，请你在图中画出点P．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B D ⊥ A D$ 于点D（直线 $A D$ 不与 $B C$ 边相交）．

(1)、在所给图形中过点C作 $C E ⊥ A D$ 于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，并用0.5 $mm$ 黑色字迹笔描重作图痕迹，不必写作法和证明）

(2)、求证： $D E = B D + C E$ ．（说明：如果尺规作图没有完成，可直接画出草图进行证明）

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22. 习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是最深厚的文化软实力，是中国特色社会主义植根的沃土，是我们在世界文化激荡中站稳脚跟的根基．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．

(1)、求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元；

(2)、该校共购进“四大名著”多少套？

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23. 为了减轻环卫工人的工作强度，某环卫公司准备购买A，B两种型号的清扫车共80台，其中B型清扫车的数量不少于A型清扫车的1.4倍．

(1)、该环卫公司最多购买A型清扫车多少台？

(2)、已知A型清扫车4万元/台，B型清扫车6万元/台，要使总费用不超过416万元，该环卫公司共有哪几种购买方案？

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24. （问题情境）
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ，D是 $A B$ 边上一点，过点D作 $D E / / B C$ 交 $A C$ 于点E，以D为顶点， $D E$ 为一边作 $∠ E D F = ∠ A C B$ ，使其另一边与 $B C$ 边交于点F， $E F$ 与 $C D$ 交于点G．

(1)、求证：G是 $E F$ 的中点；

(2)、M，N分别是 $A C$ ， $B C$ 的中点，连接 $M N$ ，求证：点G在线段 $M N$ 上；

(3)、（迁移拓展）
如图2，已知D是长为4的线段 $A B$ 上的动点（D不与A，B重合），分别以 $A D$ ， $D B$ 为边在线段 $A B$ 的同侧作等边 $△ A D E$ 和等边 $△ B D F$ ，G为 $E F$ 的中点，连接 $D G$ ．

①请直接写出 $G D$ 的最小值；（不要求写解题过程）

②请写出解题过程中需要的辅助线作法，并在图2中画出相应的辅助线．

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