内蒙古自治区乌海市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 1 \leq 0}$ ， $B = {y | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${1}$ B、 $[0 ， 1]$ C、 ${0}$ D、 $R$

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2. 已知复数 $z = (1 - 2 i) \cdot i$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2. C、 $\sqrt{3}$ D、1

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $2 < a < 3$ ”是“ $a^{2} - 5 a - 6 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在同一直角坐标系中，函数 $f (x) = x^{a} (x > 0) ， g (x) = \log_{a} x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 我校实验二部数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率 $y$ 和温度 $x$ (单位： $° C$ )的关系，由实验数据得到右面的散点图. 由此散点图，最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是（）

A、 $y = a + b x$ B、 $y = a + b \ln x$ C、 $y = a + b e^{x}$ D、 $y = a + b x^{2}$

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6. 命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 > 0$ ；命题 $q$ ：若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则下列为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land \neg q$ C、 $\neg p \land q$ D、 $\neg p \land \neg q$

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7. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (ξ < 2) = P (ξ > 6) = 0.15$ ，则 $P (2 \leq ξ < 4)$ 等于（）

A、 $0.3$ B、 $0.35$ C、 $0.5$ D、 $0.7$

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8. 牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型： $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ ，( $t$ 为时间，单位分钟， $θ_{0}$ 为环境温度， $θ_{1}$ 为物体初始温度， $θ$ 为冷却后温度)，假设一杯开水温度 $θ_{1} = 100 ℃$ ，环境温度 $θ_{0} = 20 ℃$ ，常数 $k = 0.2$ ，大约经过多少分钟水温降为 $40 ℃$ (结果保留整数，参考数据： $\ln 2 \approx 0.7$ )（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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9. 设函数 $f (x) = \log_{2} (x - 1) + \sqrt{2 - x}$ ，则函数 $f (\frac{x}{2})$ 的定义域为（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $(2 ， 4]$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[2 ， 4)$

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10. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x²＋1，值域为{1，3}的同族函数有（）．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，且在区间[1，2]上是减函数，令 $a = \ln 2$ ， $b = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}}$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} 2$ ，则 $f (a), f (b), f (c)$ 的大小关系为（）

A、 $f (b) < f (c) < f (a)$ B、 $f (a) < f (c) < f (b)$ C、 $f (c) < f (b) < f (a)$ D、 $f (c) < f (a) < f (b)$

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12. 已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对任意 $x \in R$ 都有 $2 f (x) + x f^{'} (x) > x^{2}$ 恒成立，则下列结论正确的是（）

A、 $4 f (- 2) < f (- 1)$ B、 $25 f (5) > f (1)$ C、 $25 f (5) < f (- 1)$ D、 $f (0) < 0$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ 的零点个数是．

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14. 若二项式 ${(\frac{\sqrt{5}}{5} x^{2} + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为 $m$ ，则 $\int_{1}^{m} x^{2} d x =$ ．

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15. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= ．

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16. 已知函数 $f (x) = | \log_{2} x |$ ，若 $f (a) = f (b)$ 且 $a < b$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{a x^{2} - 4 x + 3}$

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 的值域是 $(0 ， + \infty)$ ，求 $a$ 的值.

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18. 某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据：

x

1

2

3

4

5

y

0.02

0.05

0.1

0.15

0.18

(1)、根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

(2)、根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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19. 设 $f (n) > 0 (n \in N^{*})$ ， $f (2) = 4$ ，并且对于任意 $n_{1}$ ， $n_{2} \in N^{*}$ ， $f (n_{1} + n_{2}) = f (n_{1}) f (n_{2})$ 成立.

(1)、计算 $f (1)$ ， $f (3)$ ， $f (4)$ 的值，并猜想 $f (n)$ 的表达式；

(2)、证明（1）中猜想 $f (n)$ 的表达式.

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20. 为普及高中学生安全逃生知识与安全防护能力，乌海市某校高二年级举办了安全逃生知识与安全防护能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，先将所有报名参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，制成如下频率分布表：

分数(分数段)	频数(人数)	频率
$[60 ， 70)$	9	$x$
$[70 ， 80)$	$y$	0.38
$[80 ， 90)$	16	0.32
$[90 ， 100]$	$z$	$s$
合计	$p$	1

(1)、求出上表中的

x

，

y

，

z

，

s

，

p

的值；

(2)、按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知某校高二（2）班只有甲､乙两名同学取得决赛资格.

①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位､乙不在最后一位的概率；

②记某校高二（2）班在决赛中进入前三名的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、在函数 $f (x) = x^{2} - \ln x$ 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 $[\frac{1}{2} ， 1]$ 上.若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程式 ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{2} t \\ y = \sqrt{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $3 ρ^{2} \cos^{2} θ + 4 ρ^{2} \sin^{2} θ = 12$ ，且直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点.

(1)、求直线 $l$ 的普通方程及曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、把直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点记为 $A$ ，求 $| A P | • | A Q |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = x + 1 + | 3 - x |$ ， $x ⩾ - 1$ ．

(1)、求不等式 $f (x) ⩽ 6$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $n$ ，正数 $a$ ， $b$ 满足 $2 n a b = a + 2 b$ ，求证： $2 a + b \geq \frac{9}{8}$ ．

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x	1	2	3	4	5
y	0.02	0.05	0.1	0.15	0.18