辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0} ， B = {= x | 0 < x \leq 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 1 ， 4]$ B、 $(0 ， 3]$ C、 $(- 1 ， 0] \cup (1 ， 4]$ D、 $[- 1 ， 0] \cup (1 ， 4]$

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2. 设 $a ， b ， c$ 为实数，且 $a < b < 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a c^{2} < b c^{2}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ D、 $a^{2} > a b > b^{2}$

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3. 函数 $y = \frac{\sqrt{- x^{2} + x + 6}}{\ln (x - 1)}$ 的定义域是（）

A、 $[- 2 ， 3]$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $[- 2 ， 2) \cup (2 ， 3]$ D、 $(1 ， 2) \cup (2 ， 3]$

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4. 若正数x，y满足 $x + 3 y = 5 x y$ ，当 $3 x + 4 y$ 取得最小值时， $x + 4 y$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 函数 $f (x) = \ln (\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x})$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2020年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量 $N (mg / L)$ 与时间 $t$ 的关系为 $N = N_{0} e^{- k t}$ （ $N_{0}$ 为最初污染物数量）.如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（）小时.

A、3.6 B、3.8 C、4 D、4.2

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7. 已知命题 $p ： f (x) = e^{x} + 2 \ln x + x^{2} + m x$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内单调递增，命题 $q ： m \geq - 5$ ，则p是q的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x < 0 \\ f (x - 2) ， x \geq 0 \end{array}$ ，以下结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上是减函数 B、 $f (2020) + f (2021) = - 1$ C、若方程 $f (x) - m x - 1 = 0 (m \in R)$ 恰有5个不相等的实根，则 $m \in (- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{6})$ D、若函数 $y = f (x) - k$ 在区间 $(- \infty ， 6)$ 上有8个零点 $x_{i} (i \leq 8 ， i \in N^{*})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} = 14$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (m x^{2} + 4 x + 8) ， m \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ ，则实数m的取值范围是 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、若函数 $f (x)$ 的值域为 $[2 ， + \infty)$ ，则实数 $m = 2$ C、若函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， + \infty)$ 上为增函数，则实数m的取值范围是 $(\frac{4}{9} ， \frac{2}{3}]$ D、若 $m = 0$ ，则不等式 $f (x) < 15$ 的解集为 ${x | x < - \frac{3}{2}}$

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10. 我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺两鼠对穿大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．下列说法中正确的有（）

A、大鼠与小鼠在第三天相逢 B、大鼠与小鼠在第四天相逢 C、大鼠一共穿墙 $\frac{59}{17}$ 尺 D、大鼠和小鼠穿墙的长度比为 $59 ： 26$

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11. 已知e为自然对数的底数，则下列判断正确的是（）

A、3^e^﹣2π＜3π^e^﹣2 B、πlog₃e＞3log_πe C、log_πe $> \frac{e}{π}$ D、π^e＜e^π

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x - x^{3} ， x < 0 \\ 2^{- x} - 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $4 f^{2} (x) - 4 a \cdot f (x) + 2 a + 3 = 0$ 有5个不同的实根，则实数 $a$ 可能的取值有（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{5}{4}$ D、 $- \frac{7}{6}$

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三、填空题

13. 幂函数 $y = x^{m^{2} + 2 m - 1} (m \in N)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，则 $m =$ .

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14. 已知函数 $y = k (x - 1)$ 与 $y = \ln x$ 的图象有且只有一个公共点，求k的取值范围．

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15. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上单调递增，实数a满足 $f (\ln a) + 2 f (\ln \frac{1}{a}) \geq 3 f (- 1)$ ，则实数a的取值范围是.

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16. 已知实数 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{x}{1 + a x^{2}} ， g (x) = x + a$ ，若对任意 $x_{1} \in [- 2 a ， 2 a]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 2 a ， 2 a]$ ，使得 $f (x_{2}) \leq g (x_{1})$ ，则a的最大值为.

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四、解答题

17. 设p：实数x满足x²－4ax＋3a²<0，a∈R；q：实数x满足x²－x－6≤0或x²＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

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18. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{a - 3^{x}}{3^{x} + a}$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (x^{2} + x) + f (x - 3) < 0$ .

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19. 某市2019年引进天然气作为能源，并将该项目工程承包给中昱公司.已知中昱公司为该市铺设天然气管道的固定成本为35万元，每年的管道维修费用为5万元.此外，该市若开通 $x$ 千户使用天然气用户 $(x \in R^{+})$ ，公司每年还需投入成本 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 200 x ， 0 < x < 10 \\ 287 x + \frac{10000}{x} - 1320 ， x \geq 10 (x \in R^{+}) \end{array}$ .通过市场调研，公司决定从每户天然气新用户征收开户费用2500元，且用户开通天然气后，公司每年平均从每户使用天然气的过程中获利360元.

(1)、设该市2019年共发展使用天然气用户 $x$ 千户，求中昱公司这一年利润 $W (x)$ (万元)关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、在（1）的条件下，当 $x$ 等于多少 $W (x)$ 最大？且 $W (x)$ 最大值为多少？

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20. 在① $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，② $b_{n} - 20 = a_{n} - a_{n + 1}$ ，③ $b_{n} = \lg \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ 这三个条件中任选一个，补充下面的问题中，若问题中的 $λ$ 存在，求 $λ$ 的最小整数值；若 $λ$ 不存在，请说明理由．
问题：设数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{3} + \frac{a_{3}}{4} + \dots + \frac{a_{n}}{n + 1} = n^{2} + n$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．若 ▲ ，则是否存在 $λ$ ，使得 $S_{n} \leq λ$ ？

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21. 定义在 $D$ 上的函数 $f (x)$ ，若满足：对任意 $x \in D$ ，存在常数 $M > 0$ ，都有 $| f (x) | \leq M$ 成立，则称 $f (x)$ 是 $D$ 上的有界函数，其中 $M$ 称为函数 $f (x)$ 的上界

(1)、设 $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ ，判断 $f (x)$ 在 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ 上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出 $f (x)$ 所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由.

(2)、若函数 $g (x) = 1 + 2^{x} + a \cdot 4^{x}$ 在 $x \in [0 ， 2]$ 上是以3为上界的有界函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + a \ln x$ ，其中a为实常数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值：

(2)、若对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， 3]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，恒有 $| \frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}} | > | f (x_{1}) - f (x_{2}) |$ 成立，求a的取值范围．

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