辽宁省丹东市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 3}$ ， $B = {x | y = \sqrt{2 - x}}$ ，则 $A \cup ∁_{R} B =$ （）

A、 ${x | x > 0}$ B、 ${x | 0 < x < 2}$ C、 ${x | 0 < x < 3}$ D、 ${x | 2 < x < 3}$

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2. 命题“ $\exists_{x_{0}} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 5 > 0$ ”的否定（）

A、 $\forall x \notin R$ ， $x^{2} + 2 x + 5 > 0$ B、 $\exists x_{0} \notin R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 5 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 5 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 5 \geq 0$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，若 ${a_{n}}$ 为递增数列，则（）

A、 $d > 0$ B、 $d < 0$ C、 $a_{1} d > 0$ D、 $a_{1} d < 0$

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4. ${(\tan x)}^{'} =$ （）

A、 $\frac{1}{\tan x}$ B、 $- \frac{1}{\tan x}$ C、 $\frac{1}{\sin^{2} x}$ D、 $\frac{1}{\cos^{2} x}$

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5. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 (m^{2} - 1) x - 3 m = 0$ 的两个实数根的倒数和等于0，则（）

A、 $m = - 1$ B、 $m = 0$ C、 $m = 1$ D、 $m = \pm 1$

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6. 将 $2$ 封不同信投入 $4$ 个不同邮箱，每个邮箱最多投一封信的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知三个正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $4 a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ ，则 $\frac{c}{2 a} + \frac{c}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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8. 当 $x > 0$ 时， $x^{3} + k \geq (1 + k) x$ ，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 ${2}$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $(- \infty ， 2]$ D、 $[2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知 $a > b > 1$ ，下列不等式中正确的是（）

A、 $a b < a^{2}$ B、 $- b^{2} < - a b$ C、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ D、 $\frac{1}{a - 1} < \frac{1}{b - 1}$

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10. 设函数 $f (x) = {(1 + 2 x)}^{5}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 展开式的第2项和第3项的二项式系数相等 B、 $f (x)$ 展开式共有6项 C、 $f^{'} (x)$ 展开式中的各项系数和为810 D、 $f^{'} (x)$ 展开式中的 $x^{3}$ 系数为320

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11. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列命题正确的是（）

A、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ 仍为等差数列 B、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $S_{n}$ ， $S_{2 n} - S_{n}$ ， $S_{3 n} - S_{2 n}$ 仍为等比数列 C、若 ${a_{n}}$ 为等差数列，则 ${a^{a_{n}}}$ （ $a$ 为正常数）为等比数列 D、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 ${\lg a_{n}}$ 为等差数列

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12. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以 $B$ 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B) = \frac{2}{5}$ B、 $P (B | A_{1}) = \frac{4}{11}$ C、事件 $A_{1}$ 与事件 $B$ 相互独立 D、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 是两两互斥的事件

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三、填空题

13. 某地区为了解高中毕业年级男同学身体发育情况，从全地区高三年级男同学中随机抽取了 $10000$ 同学为样本，分别测量样本中每名同学的体重 $X$ （单位： $kg$ ），已知 $X ～ N (60 ， σ^{2})$ ， $P (58 < X < 62) = 0.7$ ，则样本中体重不低于 $62 kg$ 的人数为．

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = - 9$ ， $a_{11} = - 4$ ，则 $a_{7} =$ ．

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15. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 7$ ， $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{9} a_{10}} = - \frac{9}{77}$ ，若 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则使 $n S_{n}$ 取最小值时的 $n$ 值为．

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16. 设 $a$ ， $b \in (0 ， 1)$ ，随机变量 $X$ 的分布列如表所示：

$X$

0

$2 a$

1

$P$

$a$

$\frac{1}{2}$

$b$

则 $E (X) =$ ；若 $a = \frac{1}{4}$ ，则 $D (X) =$ ．

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四、解答题

17. 设函数 $f (x) = a x (\ln x + b)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $x + y + 1 = 0$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的极值．

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{6} = 1$ ， $S_{10} = 0$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、记 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ ，数列 ${T_{n}}$ 是否存在最大项？若存在，求出这个最大项；如不存在，请说明理由．

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19. 2020年10月29日，十九届五中全会发布公报，提出“稳妥实施渐进式延迟法定退休年龄”，标志着延迟退休将由此前的研究层面变成现实．某研究机构以3年为一个调研周期，统计某地区的第

x

个调研周期内新增的退休人数

y

（单位：万人），得到统计数据如下表：

$x$	1	2	3	4
$y$	4	6	9	11

通过数据分析得到第 $x$ 个周期内新增的退休人数 $y$ 与 $x$ 之间具有线性相关关系．

(1)、求

y

关于

x

的线性回归方程，并预测在第

5

个调研周期内该地区新增退休人数

(2)、该研究机构为了调研市民对延迟退休的态度，随机采访了

100

名市民，将他们的意见和性别进行了统计，得到如下

2 \times 2

列联表：

	支持	不支持	合计
男性	42	8	50
女性	37	13	50
合计	79	21	100

根据列联表判断，是否有90%的把握认为支持延迟退休与性别有关？

附：回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．参考数据： $\sum_{i = 1}^{4} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 12$ ．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P（K²≥k₀）	0.150	0.100	0.050	0.025
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024

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20. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} \neq 0$ ， $q$ 为常数，且 $q \neq 0$ ， $q \neq 1$ ，证明： ${a_{n}}$ 是以 $q$ 为公比的等比数列的充要条件为 $S_{n} = \frac{a_{1} - a_{n} q}{1 - q}$ ．

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21. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为 $\frac{1}{4}$ ，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复．

(1)、求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；

(2)、记该同学第 $n$ 天选择米饭套餐的概率为 $P_{n}$ ．
（i）证明： ${P_{n} - \frac{2}{5}}$ 为等比数列；

（ii）证明：当 $n \geq 2$ 时， $P_{n} \leq \frac{5}{12}$ ．

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22. 已知以下三个不等式都成立：① $\frac{x^{2} + 1}{e^{x}} - 1 < 0$ $(x > 1)$ ；② $\ln x - 2 \sqrt{x} + 2 < 0$ $(x > 1)$ ；③ $2 \ln x + \frac{1}{x} - x > 0$ $(0 < x < 1)$ ．

(1)、从这三个不等式中选择一个不等式进行证明：注：如果选择多个不等式分别进行证明，按第一个证明计分．

(2)、若函数 $y = k (x - 1)$ 与 $y = \ln x$ 的图像有且只有一个公共点，求 $k$ 的取值范围.

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$X$	0	$2 a$	1
$P$	$a$	$\frac{1}{2}$	$b$