北京市通州区2020-2021学年八年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-08-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的二次项系数和一次项系数分别为（）

A、 $1$ 和 $3$ B、 $1$ 和 $- 3$ C、 $0$ 和 $- 1$ D、 $- 3$ 和 $- 1$

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2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过点．轴，垂足为点 $A$ ，那么 $P A$ 的长为（）

A、2 B、3 C、5 D、 $\sqrt{13}$

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4. 方程 $x (x - 1) = 0$ 的根是 $($ $)$

A、 $x = 0$ B、 $x = 1$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 1$ D、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$

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5. 甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（）

	甲	乙	丙	丁
$\bar{x}$ （米）	1.72	1.75	1.75	1.72
$S^{2}$ （米 $^{2}$ ）	1	1.3	1	1.3

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ，配方变形过程正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = - 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 0$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 3$

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7. 如图， $E$ 是平行四边形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点，且 $A B = B E$ ，连接 $A E$ ，并延长 $A E$ 与 $D C$ 的延长线交于点 $F$ ，如果 $∠ F = 70 °$ ，那么 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $30 ° C$ B、 $40 ° C$ C、 $50 ° C$ D、 $70 ° C$

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8. 小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快（）

A、200 B、80 C、140 D、120

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二、填空题

9. 如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，如果使“帅”的位置为点 $(0 ， - 2)$ ，“相”的位置为点 $(2 ， - 2)$ ，那么“炮”的位置为点．

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10. 通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从一个 $n$ 边形的一个顶点出发最多引出 $3$ 条对角线，那么这个 $n$ 边形的内角和是．

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11. 如果一元二次方程 $x^{2} - 9 = 0$ 的两根分别是 $a$ ， $b$ ，且 $a > b$ ，那么 $a$ 的值是．

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12. 已知 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 是一次函数 $y = k x + 3$ 的图象上两点，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，则 $y_{1} > y_{2}$ ，那么 $k$ 的值可以是（写出一个满足题意k的值即可）．

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13. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a \neq 0)$ 的一个解是 $x = - 1$ ，那么代数式 $2021 + a - b$ 的值是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，在边 $A C$ 上截取 $A D = A B$ ，连接 $B D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ．已知 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，如果 $F$ 是边 $B C$ 的中点，连接 $E F$ ，那么 $E F$ 的长是．

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15. 在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方的计算公式： $S^{2} = \frac{{(2 - \bar{x})}^{2} + {(3 - \bar{x})}^{2} + {(3 - \bar{x})}^{2} + {(4 - \bar{x})}^{2}}{n}$ ，并由公式得出以下信息：①样本的容量是 $4$ ，②样本的中位数是 $3$ ，③样本的众数是 $3$ ，④样本的平均数是 $3.5$ ，⑤样本的方差是 $0.5$ ，那么上述信息中正确的是（只填序号）．

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16. 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多 $6$ 尺，门的对角线长 $10$ 尺，那么门的高和宽各是多少?如果设门的宽为 $x$ 尺，根据题意，那么可列方程．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ ．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A D$ 、 $B C$ 上，且 $A E = C F$ ，连接 $E F$ ， $A C$ 交于点 $O$ ．求证： $O E = O F$ ．

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m - 1 = 0$ 有两个实数根．
（ $1$ ）求 $m$ 的取值范围；

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20. 已知一次函数 $y_{1} = k x + 2$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $B (- 2 ， 0)$ ，与正比例函数 $y_{2} = m x$ 的图象交于点 $A (1 ， a)$ ．
（ $1$ ）分别求 $k$ ， $m$ 的值；

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21. 已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ．
求作：矩形 $A B C D$ ．

作法：如下，

①分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的同样长为半径弧，

两弧分别交于点 $M$ ， $N$ ；

②作直线 $M N$ ，交边 $A C$ 于点 $O$ ；

③作射线 $B O$ ，以点 $O$ 为圆心，以 $B O$ 长为半径作弧，与射线 $B O$ 的另一个交点为 $D$ ，连接 $C D$ ， $A D$ ；

所以四边形 $A B C D$ 就是所求作的矩形．

（ $1$ ）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：

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22. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (a + 1) x + a = 0$ ．
（ $1$ ）不解方程，判断方程根的情况，并说明理由；

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $O E ⊥ A C$ 交 $A D$ 于 $E$ ，如果 $A E = 4$ ， $D E = 2$ ， $D C = 2 \sqrt{5}$ ，求 $A C$ 的长．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $A (m ， 2)$ 向右平移 $3$ 个单位长度，得到点 $B$ ，点 $B$ 在直线 $y = x + 1$ 上．
（ $1$ ）求 $m$ 的值和点 $B$ 的坐标；

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25. 今年7月1日是中国共产党建党

100

周年纪念日，为了让学生进一步了解中国共产党的历史，某学校组织了一系列“党史知识”专题学习活动，对八年级甲，乙两班各

40

名学生进行了“党史”相关知识的测试，并分别抽取了

15

份成绩，并对成绩（百分制并取整数）进行整理、描述和分析，部分信息如下；

$a$ ．甲班、乙班 $15$ 名学生测试成绩统计如下：（满分 $100$ 分）

甲班： $68$ ， $72$ ， $89$ ， $85$ ， $82$ ， $85$ ， $74$ ， $92$ ， $80$ ， $85$ ， $78$ ， $85$ ， $69$ ， $76$ ， $80$ ．

乙班： $86$ ， $89$ ， $83$ ， $76$ ， $73$ ， $78$ ， $67$ ， $80$ ， $80$ ， $79$ ， $80$ ， $84$ ， $82$ ， $80$ ， $83$ ．

$b$ ．甲班 $15$ 名学生测试成绩的频数分布直方图（不完整）：

$c$ ．乙班 $15$ 名学生测试成绩的频数分布表：

组别	$65.5 ~ 70.5$	$70.5 ~ 75.5$	$75.5 ~ 80.5$	$80.5 ~ 85.5$	$85.5 ~ 90.5$	$90.5 ~ 95. 5$
乙	$1$	$1$	$a$	$b$	$2$	$0$

$d$ ．甲班、乙班 $15$ 名学生测试成绩的平均数、众数、中位数和方差如下：

班级	平均数	众数	中位数	方差
甲	$80$	$x$	$80$	$47.6$
乙	$80$	$80$	$y$	$26.2$

根据以上信息，回答下列问题．

(1)、补全甲班测试成绩的频数分布直方图；

(2)、在乙班

15

名学生测试成绩的频数分布表中，

a =

，

b =

．

(3)、在甲班、乙班

15

名学生测试成绩的平均数、众数、中位数、方差表中，

x =

，

y =

．

(4)、你认为哪个班的学生掌握“党史”相关知识的整体水平较好，说明理由．

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26. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + 4 (k \neq 0)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知点 $A (2 ， 0)$ ， $B (4 ， 2)$ ．

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、直接判断线段 $C A$ 、 $C B$ 的大小关系： $C A$ $C B$ （填“＞”，“＝”或“＜”）

(3)、如果点 $A (2 ， 0)$ ， $B (4 ， 2)$ 到一次函数 $y = k x + 4 (k \neq 0)$ 图象的距离相等，求 $k$ 的值．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，以 $B C$ 为边，向外作正方形 $B C D E$ ，对角线 $B D$ ， $C E$ 交于点 $O$ ．

（ $1$ ）求证： $∠ A B O + ∠ A C O = 180 °$ ；

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P$ ，如果点 $Q$ 满足条件：以线段 $P Q$ 为对角线的正方形，且正方形的边分别与 $x$ 轴， $y$ 轴平行，那么称点 $Q$ 为点 $P$ 的“和谐点”，如下图所示．
已知点 $D （ - 1 ， 2 ）$ ， $E （ 1 ， 2 ）$ ， $F （ - 1 ， - 2 ）$ ．

(1)、已知点 $A$ 的坐标是 $（ 2 ， 1 ）$ ．
①在 $D$ ， $E$ ， $F$ 中，是点 $A$ 的“和谐点”的是 ▲ ．

②已知点 $B$ 的坐标为 $（ 0 ， b ）$ ，如果点 $B$ 为点 $A$ 的“和谐点”，求 $b$ 的值；

(2)、已知点 $C （ m ， 0 ）$ ，如果线段 $D E$ 上存在一个点 $M$ ，使得点 $M$ 是点 $C$ 的“和谐点”，直接写出 $m$ 的取值范围．

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