高中数学人教版（2019）必修一第二章：一元二次函数、方程及不等式

试卷更新日期：2021-08-15 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 不等式 $- x^{2} + 1 < 0$ 的解集是（）

A、 ${x ∣ x > 1}$ B、 ${x ∣ x > \pm 1}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 1}$

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2. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x - b < 0$ 的解集是 $(2 ， 3)$ ，则 $a + b$ 的值是（）

A、-11 B、11 C、-1 D、1

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3. 已知正数x ， y满足： $\frac{1}{x} + \frac{3}{y + 2} = 1$ ，则x＋y的最小值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $2 + 2 \sqrt{3}$ C、6 D、 $6 + 2 \sqrt{3}$

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4. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2 a b$ ，则 $2 a + 6 b$ 的最小值（）

A、6 B、 $4 + \sqrt{3}$ C、10 D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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5. 若不等式 $x + 4 \sqrt{x y} \leq m (3 x + y)$ 对所有正数x ， y均成立，则实数m的最小值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、4

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6. “ $\forall x \in R, a x^{2} + a x + 1 > 0$ 恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A、 $0 \leq a < 4$ B、 $a > 4$ C、 $0 < a < 3$ D、 $0 \leq a < 5$

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7. 已知关于x的不等式 $a x^{2} - 2 x + 4 a < 0$ 在 $(0, 2]$ 上有解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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8. 已知 $x, y, t \in (0, + \infty)$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{t}{y} = 1$ ，（）

A、当 $t = 2$ 时，当且仅当 $x = y = 2$ 时， $x + 2 y$ 有最小值 B、当 $t = 8$ 时，当且仅当 $x = y = \frac{25}{3}$ 时， $x + 2 y$ 的最小值为25 C、若 $x + 2 y$ 的最小值为9，则t的值为2 D、若 $x + 2 y$ 的最小值为25，则t的值为6

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二、多选题

9. 已知 $a$ ， $b$ 为正数，且 $a + b = 1$ ，那么下列结论中正确的有（）

A、 $a b + \frac{1}{a b}$ 的最小值是2 B、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ D、 $2^{a - b} \in (\frac{1}{2} ， 2)$

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10. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，给出下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} + 1 > a$ B、 $a^{2} + 9 > 6 a$ C、 $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ D、 $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b}) \geq 4$

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11. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $2 x + y = 1$ ，则 $\frac{x + 1}{x y}$ 可能取的值有（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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12. 设正实数a，b满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最小值4 B、 $\frac{a b}{a + b}$ 有最大值 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 不等式 $- x^{2} + 2 x + 3 < 0$ 的解集是．

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14. 若 $x > 1$ ，则 $\frac{x^{2} - x + 9}{x - 1}$ 的最小值为.

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15. 设正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $x^{2} + y^{2} + \sqrt{x y}$ 的取值范围.

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16. 若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 a x + 1 > 0$ 的解集为 $(- \infty ， + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知一元二次不等式 $x^{2} + p x + q < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}}$ ，求不等式 $q x^{2} + p x + 1 > 0$ 的解集.

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18. 已知命题p：不等式2x﹣x²＜m对一切实数x恒成立，命题q：m²﹣2m﹣3≥0，如果￢p与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围．

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19. 已知 $f (x) = x^{2} - a x + 3$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) > 6$ ；

(2)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq 1 - x^{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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20. 关于x的不等式： $x^{2} - a x - 2 a > 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式的解集；

(2)、若不等式对一切实数恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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21. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3 (a \neq 0)$ ，

(1)、若 $b = - a - 3$ ，且 $a > 0$ ，求不等式 $f (x) < - 4 x + 2$ 的解集；

(2)、若 $f (1) = 4$ ， $b > - 1$ ，求 $\frac{1}{| a |} + \frac{| a |}{b + 1}$ 的最小值.

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22.

(1)、已知 $x > 0$ ，求 $y = x + \frac{4}{x}$ 的最小值．并求此时 $x$ 的值；

(2)、设 $0 < x < \frac{3}{2}$ ，求函数 $y = 4 x (3 - 2 x)$ 的最大值；

(3)、已知 $x > 2$ ，求 $x + \frac{4}{x - 2}$ 的最小值；

(4)、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y} = 1$ ，求 $x + y$ 的最小值；

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